【解析版】北京市怀柔区2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

1页【解析版】北京市怀柔区2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x＞0}，则∁UA等于（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0或x＞1}D．{x|x≤0或x≤1}考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：首先求解二次不等式化简集合A，然后直接利用补集的概念求解．解答：解：由集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＜0或x＞1}，全集U=R，所以∁UA={x|0≤x≤1}．故选A．点评：本题考查了补集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．2．（5分）若，那么=（）A．=（1，2）B．3C．2D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量模的计算公式即可得出．解答：解：=2．故选C．点评：熟练掌握向量模的计算公式是解题的关键．3．（5分）已知数列{an}是等比数列，且，a4=﹣1，则{an}的公比q为（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：结合题意由等比数列的通项公式可得8=﹣1×q3，由此求得q的值．解答：解：等比数列{an}中，，a4=﹣1，设公比等于q，则有﹣1=×q3，∴q=﹣2，故选：D．．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题．2页4．（5分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．解答：解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选A．点评：本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．5．（5分）在区间[﹣10，10]上随机取一个数x，则x使不等式x2﹣x﹣6≤0成立的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．解答：解：由题意知﹣10≤x≤10．由x2﹣x﹣6≤0，解得﹣2≤x≤3，所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣x﹣6≤0成立的概率为，．故选B．点评：本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．6．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题．3页分析：由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：4，可设a=3k，b=2k，c=4k，由余弦定理可得，cosC=可求．解答：解：由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：4∴可设a=3k，b=2k，c=4k由余弦定理可得，cosC===故选A．点评：本题主要考查了正弦定理a：b：c=sinA：sinB：sinC，及余弦定理的应用，属于基础试题7．（5分）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A．2B．C．5D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两次利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴=4，当且仅当a=b=1时取等号．故选D．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．8．（5分）如右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：作图题．分析：随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．4页解答：解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选A．点评：本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）（2010•长春三模）函数的最小值为3．考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：求两个数和的最小值，凑出两个数的积为定值，满足基本不等式成立的条件．解答：解：=x﹣1+1≥2+1=3当且仅当x﹣1=即当x=2时取“=”所以的最小值为3故答案为3点评：利用基本不等式求最值，一定要注意需要的条件：一正、二定、三相等．10．（5分）某算法的程序框图如图所示，则程序输出y的值是﹣1．5页考点：选择结构．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，x=﹣1，执行函数y=3x+2，代入计算可得结论．解答：解：由题意，x=﹣1，执行函数y=3x+2，代入计算可得y=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查选择结构，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）（2009•浙江）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为30．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）上的频率，再由频率=，计算其频数．解答：解：根据题意，在区间[4，5]的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3，而总数为100，因此频数为30．故答案为30．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．6页12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（，），B（﹣，﹣1），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故答案为：点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（5分）已知平面向量满足，且与的夹角为135°，与的夹角为120°，，则=．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．分析：由已知，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为135°，与的夹角为120°，，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理，可求出向量对应边的长度．7页解答：解：∵∴三个向量首尾相接后，构成一个三角形且与的夹角为135°，与的夹角为120°，，故所得三角形如下图示：其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2∴==故答案为：点评：求向量的模有如下方法：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．将表示向量的有向线段纳入三角形，解三角形求出对应边长，从而得到向量的模．14．（5分）在北京举办的第七届中国花博会期间，某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案，中第①个图案只一个花盆；第②个，第③个，…的图案分别按图所示的方式固定摆放．从第①个图案的第一个花盆开始，以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围，若以an表示第n个图案的花盆总数，则a3=19；an=3n2﹣3n+1（答案用n表示）．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：观察图形很容易看出第一个图象由一盆花，第二个图形比第一个图形多放了6盆，第三个图形比第二个图形多放了2×6盆，可得后面图形花盆数前面图形花盆数存在关系，an﹣an﹣1=6×（n﹣1），利用累加法可得答案．解答：解：由图知a1=1a2﹣a1=6=6×（2﹣1），a3﹣a2=12=6×（3﹣1），…an﹣an﹣1=6×（n﹣1），∴an=1+6+12+…+6×（n﹣1）=1+=3n2﹣3n+1∴a3=198页故答案为19，3n2﹣3n+1点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，AC=2，BC=1，．（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求sinA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用余弦定理即可求得AB的值；（Ⅱ）由题意，利用正弦定理=即可求得sinA的值．解答：解：（Ⅰ）∵AB2=BC2+AC2﹣2BC•ACcosC=12+22﹣2×1×2×=2∴AB=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）∵在△ABC中，cosC=，∴sinC==，由=得：sinA==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理，掌握二定理是解决问题之关键，属于中档题．16．（13分）一只口袋中装有三个相同的球，编号分别为1，2，3．现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）求两次取球中恰有一次取出3号球的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据分步计数原理求得一共有3×3=9种不同的结果，一一列举出来．（Ⅱ）记“两次取球中恰有一次取出3号球”为事件A．用列举法求得事件A包含的基本事件数为4，由（Ⅰ）可知，基本事件总数为9，由此求得事件A的概率．解答：解：（Ⅰ）一共有3×3=9种不同的结果，列举如下：9页（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）记“两次取球中恰有一次取出3号球”为事件A．事件A包含的基本事件为：（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），事件A包含的基本事件数为4，由（Ⅰ）可知，基本事件总数为9，所以事件A的概率为.．答：两次取球中恰有一次取出3号球的概率为.．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．17．（13分）已知等差数列{an}中，a1=2，a3=﹣6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣48，求k的值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d．再由a1=2，a3=﹣6，求得d的值，从而求得通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=6﹣4n，求得Sn==4n﹣2n2．再由Sk=﹣48，可得4k﹣2k2=﹣48，解得k的值．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d．由a1=2，a3=﹣6，可得2+2d=﹣6，解得d=﹣4．从而，an=2+（n﹣1）×（﹣4）=6﹣4n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=6﹣4n，所以Sn==4n﹣2n2．进而由Sk=﹣48，可得4k﹣2k2=﹣48．即k2﹣2k﹣24=0，解得k=6或k=﹣4．又k∈N*，故k=6为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的应用，属于基础题．18．（14分）（2010•泰安二模）学校为了了解某学科模块测试情况，随机抽取了甲、乙两班各10名同学的成绩（满分100分），获得成绩数据的茎