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2013年天津市滨海新区五所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．（5分）（2013•天津模拟）复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣iB．﹣1C．1D．0考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方．解答：解：由于，所以虚部为﹣1，故选B．点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．2．（5分）（2013•天津模拟）p：|x|＞2是q：x＜﹣2的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：解不等式可得命题p对应的集合，由集合的包含关系可得结论．解答：解：由|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，由于集合{x|x＜﹣2}是{x|x＞2或x＜﹣2}的真子集，故p是q的必要不充分条件故选C点评：本题考查充要条件的判断，用集合的包含关系是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）（2013•天津模拟）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）A．39B．21C．81D．102考点：循环结构．专题：图表型．分析：用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=4时退出循环，即可．解答：解：第一次循环，S=3，n=2；第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，故选D．点评：本题考查循环结构，判断框中n=4退出循环是解题的关键，考查计算能力．4．（5分）（2013•天津模拟）若（a＞0）展开式中x3的系数为，则a的值为（）A．B．C．D．1考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出k的值，再根据展开式中x3的系数为，即可求得a的值．解答：解：由于（a＞0）展开式的通项为，由5﹣2k=3得k=1，所以，即x3的系数为﹣5a4，即，所以，a=，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5．（5分）（2013•天津模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，在双曲线右支上存在一点P满足PF1⊥PF2且∠PF1F2=，那么双曲线的离心率是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用PF1⊥PF2且，可得，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．解答：解：因为PF1⊥PF2且，所以，又，所以，即双曲线的离心率为，故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）（2013•天津模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC面积为，则=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA与b的值，以及已知面积代入求出c的长，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的长，由a与sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径R，利用正弦定理及比例的性质即可求出所求式子的值．解答：解：∵S△ABC=bcsin120°=，即c×=，∴c=4，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos120°=21，解得：a=，∵==2R，∴2R===2，则=2R=2．故选D点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•天津模拟）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ=1，①同理可得=，由D、M、F三点共线，可得λ+μ=1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解答：解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故===（λ﹣μ）+μ=2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ=1，即2λ﹣μ=1，①同理可得===，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）=1，即λ+μ=1，②综合①②可解得λ=，，故实数λ与μ的乘积=故选B点评：本题考查平面向量基本定理即意义，涉及三点共线的结论，属中档题．8．（5分）（2013•天津模拟）已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11考点：函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x﹣4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b﹣a的最小值．解答：解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+，∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012当x=﹣1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，当x≠﹣1时，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012=（1﹣x）•+x2012=＞0，∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增；又f（0）=1，f（﹣1）=﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点，由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．∵g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012=﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012]=﹣f′（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减；又g（1）=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，g（2）=﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），∵n≥2时，﹣=＜0，∴g（2）＜0．∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．又b，a∈Z，∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10．故选C．点评：本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应的横线上.9．（5分）（2013•天津模拟）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A型号产品有16件，那么此样品容量为n=72．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：用A型号产品的样本数16，除以A型号产品所占的比例，即得样本容量n的值．解答：解：由于A型号产品的样本数为16，A型号产品所占的比例为，故样本容量n=16÷=72，故答案为：72．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用A型号产品的样本数除以A型号产品所占的比例，即得样本容量．10．（5分）（2013•天津模拟）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键．11．（5分）（2013•天津模拟）已知a=，b=20.6，c=log43，则a，b，c的大小关系从小到大为a，c，b．考点：不等关系与不等式．专题：转化思想．分析：由于此三个数既不同底，真数也不同，故需借助于中间值0，1来做．解答：解：由于，b=20.6＞20=1，0=log41＜c=log43＜log44=1则a，b，c的大小关系为a＜c＜b故答案为a，c，b．点评：本题考查的是比较实数的大小关系，属于基础题，注意：此类题除利用函数的单调性来处理外，还常借助于中间值（如：﹣1，0，1）来处理12．（5分）（2013•天津模拟）己知集合，若A∩B={x|﹣1＜x＜1}，A∪B={x|﹣4＜x＜3}，则实数m等于．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：首先化简A，然后根据已知条件求出集合B，再由一元二次不等式的解集求出结果．解答：解：∵，A∩B={x|﹣1＜x＜1}，A∪B={x|﹣4＜x＜3}，∴由数轴可知B={x|﹣4＜x＜1}，即﹣4，1是方程x2+2mx﹣4=0的两个根，∴﹣4+1=﹣2m=﹣3，解得．故答案为：点评：此题考查了子集与交集、并集运算的转换，属于基础题．13．（5分）（2013•天津模拟）直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为0或2．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：化直线的参数方程为普通方程，化圆的极坐标方程为一般方程，由直线l被圆C截得的弦长为转化为圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求解实数a的值．解答：解：直线l：，由②得，，代入①得直线l的方程为x+2y+（2﹣a）=0，由ρ=2，得=2cosθ﹣2sinθ．ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，所以圆的方程为x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2，所以圆心为（1，﹣1），半径．若直线l被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离，又，即|1﹣a|=1，解得a=0或a=2．故答案为0或2．点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标和直角坐标的互化，训练了点到直线的距离公式，是中档题．14．（5分）（2013•天津模拟）设函数，A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量，向量i=（1，0），设θn为向量an与向量i的夹角，则满足的最大整数n是3．考点：两角和与差的正切函数．专题：压轴题．分析：先确定点An=（n，f（n）），再确定，然后明确夹角θn，进一步表示出tanθn，最后可由列举法求出满足要求的最大整数n．解答：解：由题意知An=（n，f（n）），=，则θn为直线A0An的倾斜角，所以tanθn==，所以tanθ1==1，tanθ2==，tanθ3==，tanθ4==．则有，故满足要求的最大整数n是3．点评：本题综合考查向量的夹角与运算及正切函数的定义与求值．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•天津模拟）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．求：（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间上的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（I）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）先确定，再求函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（I）：==…（4分）∴最小正周期，…（5分）∵时f（x）为单调递增函数∴f（x）的单调递增区间为…（8分）（II）∵，由题意得：∴，∴，∴f（x）∈[1，4]∴f（x）值域为[1，4]…（13分）点评：本题考查三角函数