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2013年广东省茂名实验中学高考数学模拟试卷一（理科）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+y=0，x，y∈R}，B={（x，y）|x﹣y=0，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：交集及其运算．专题：数形结合．分析：集合的交集问题转化为直线x+y=0和x﹣y=0的交点问题，作出直线x+y=0和x﹣y=0，观察它们的图象的交点情况即可．解答：解：集合的交集问题转化为直线x+y=0和x﹣y=0的交点问题，作出直线x+y=0和x﹣y=0，观察它们的图象的交点只有一个．故选B．点评：本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）（2006•山东）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A．1B．2C．﹣1D．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围．解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，从而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握．3．（5分）设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），在某项测量中，已知ξ在（﹣∞，﹣1.96]内取值的概率为0.025，则P（|ξ|≤1.29═（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：解法一：根据变量符合正态分布，且对称轴是x=0，得到P（|ξ|＜1.96）=P（﹣1.96＜ξ＜1.96），应用所给的ξ在（﹣∞，﹣1.96]内取值的概率为0.025，条件得到结果，解法二：本题也可以这样解根据曲线的对称轴是直线x=0，得到一系列对称关系，代入条件得到结果．解答：解：解法一：∵ξ～N（0，1）∴P（|ξ|＜1.96）=P（﹣1.96＜ξ＜1.96）=Φ（1.96）﹣Φ（﹣1.96）=1﹣2Φ（﹣1.96）=0.950解法二：因为曲线的对称轴是直线x=0，所以由图知P（ξ＞1.96）=P（ξ≤﹣1.96）=Φ（﹣1.96）=0.025∴P（|ξ|＜1.96）=1﹣0.25﹣0.25=0.950故选C．点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查对称性，是一个数形结合的问题，是一个遇到一定要得分数的题目．4．（5分）（2008•山东）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40考点：直线与圆相交的性质．专题：压轴题．分析：根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．解答：解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选B点评：考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．5．（5分）（2009•广州二模）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，左后给下面一块着色，有2种结果，相乘得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，左后给下面一块着色，有2种结果，根据分步计数原理知共有4×3×2×2=48种结果，故选D．点评：本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．6．（5分）（2009•天河区一模）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．7．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）给出下列4个命题①当b=0时，f（x）=0只有一个实数根；②当c=0时，y=f（x）是偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④当b≠0，c≠0时，方程f（x）=0有两个不等实数根．上述命题中，所有正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；阅读型．分析：对于①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=﹣c只有一个交点，故可判断；②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，可判断函数为奇函数；③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故可判断；④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根．解答：解：①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=﹣c只有一个交点，故①正确；②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣f（x），故y=f（x）是奇函数；③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根．故选C．点评：本题的考点是命题的真假判断与应用．主要考查函数性质的判断，关键是正确理解函数．8．（5分）（2009•东莞市二模）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6C．3D．2考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：压轴题；数形结合；转化思想．分析：设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．解答：解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴⇒∴光线所经过的路程|P′P″|=2．故选A．点评：本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．9．（5分）利用计算机计算，某同学编写的右边程序语句中，①处应填k＞99（或k≥100）．考点：伪代码．专题：等差数列与等比数列．分析：计算，利用直到型循环结构，最后计算的是，由此可得结论．解答：解：计算，利用直到型循环结构，最后计算的是∴①处应填k＞99（或k≥100）故答案为：k＞99（或k≥100）点评：本题考查伪代码，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10．（5分）．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．解答：解：由于，表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×1=，又==0，∴原式=．故答案为：．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．11．（5分）（2012•南京一模）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是6．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．12．（5分）在平面内有n（n∈N+，n≥3）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f（n）个平面区域．则f（5）的值是16；f（n）﹣f（n﹣1）=n﹣1．考点：进行简单的合情推理．分析：先求出几个特殊的值，再分析前k条直线与第k+1条直线，把平面分成的区域之间的关系，归纳出关系式f（k+1）﹣f（k）=k+1，再根据数列求和求出f（n）的关系式，问题解决．解答：解：一条直线（k=1）把平面分成了2部分，记为f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）﹣f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得f（2）﹣f（1）=2，f（3）﹣f（2）=3，…，f（n）﹣f（n=1）=n，把这n﹣1个等式累加，得f（n）=2+部分．所以f（5）=16，f（n）﹣f（n﹣1）=n﹣1故答案为：16，n﹣1点评：本题主要考查了归纳推理，以及数列递推式，属于基础题．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．13．（5分）有以下四个命题：①两直线m，n与平面α所成的角相等的充要条件是m∥n；②若p：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∃x∈R，sinx＞1；③不等式10x＞x2在（0，+∞）上恒成立；④设有四个函数，其中在R上是增函数的函数有3个．其中真命题的序号是②③．（漏填、多填或错填均不得分）考点：全称命题；命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：①通过举特殊情形，m，n与平面α均平行，且相交时，判断错误②根据特称命题的否定判断③根据指数函数和幂函数的增长快慢判断④根据幂函数的图象与性质判断解答：解：①当两直线m，n与平面α均平行，且相交时，所成的角相等，均为0度，显然错误②若p：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∃x∈R，sinx＞1正确③根据特