【详解版】2014年苏州市初三数学复习专题研究综述

12014年苏州市初三数学复习专题研究综述【复习目标】1.在经历系统梳理数学知识、形成基本的知识体系和基本的数学技能的第一轮复习后，通过第二轮复习，对数学中的重点、难点、热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，优化解题策略，提高思维品质；2.使学生进一步体会初中阶段的重要数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、转化思想、类比思想、数学建模思想(方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型等)．【课时分布】专题复习在第二轮复习时大约需要13个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)：课时数内容2开放性问题2操作型问题2动态型问题2阅读理解型问题1数学建模思想1数形结合思想2分类讨论思想1特殊与一般思想第二轮复习基本要控制在五月中旬完成，各地区、各学校的老师可以根据各自班级的实际情况作相应的调整．【复习方法】事实上，上述所列的专题和常用的数学思想贯穿于整个初中数学教学中，在第一轮复习中也经常性地、零散地有所体现．而第二轮复习的目的是通过分门别类地对数学中的热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，优化解题方法，提高思维品质．并使学生进一步感悟常用的数学思想，如数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、转化思想、数学建模思想等等．所以专题性研究对所有迎战中考的学生来说是必要的，教师要教给学生思考问题的方法和策略，把握各类专题的关键．一、科学定位，分类指导，多角度把握专题的关键1．发散思维，开放探索性问题所谓开放探索性问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少部分解题要素，或者条件、结论有待探求、补充等．在解决开放探索问题的时候，需要经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查学生的分析能力、探索能力、创新意识以及思维的发散性．根据其特征大致可分为四类：(1)条件开放型.这类问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的一类题．解这类题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；(2)结论开放型.是指题目中结论不确定，不唯一．解这类题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)综合开放型.这类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性；(4)存在探索型.是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解这类题的一般思路：假设结论存在，由此出发，结合已知条件进行推理论证，得到某个结果，若合理，则假设成立，可得问题的答案；否则假设不成立，所探索的结论不存在．例1一辆汽车从A地驶往B地，前31路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程.【分析】2解决该问题的关键是从这句“就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题”入手，所以思路就从“路程”或“时间”开始．思路一问题：普通公路和高速公路各多少千米？解：设普通公路x千米，高速公路y千米.根据题意得.2.210060,2yxyx解得.120,60yx答：普通公路长60千米，高速公路长120千米.思路二问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了x小时，在高速公路行驶了y小时.根据题意得.100602,2.2yxyx解得.2.1,1yx答：汽车在普通公路上行驶了1小时，在高速公路行驶了1.2小时.【说明】本题是开放性问题颇具新意的一例，但这个开放又是有限制的，而这些限制往往就是解决问题的突破口,这句“就该汽车行驶的“路程”或“时间””为我们解决问题指明了方向，这句“提出一个用二元一次方程组解决的问题”为我们提供了解决问题的方法.如果将题目中的“用二元一次方程组”改成“用一元一次方程(组)”则更能体现其开放性，思维的空间也会更大.思路一问题：普通公路和高速公路各多少千米？解：设普通公路长x千米，则高速公路长2x千米.根据题意得2.2100260xx.解得x=60，所以2x=120.答：普通公路长60千米，高速公路长120千米.思路二问题：A、B两地的路程是多少千米？解：设A、B两地的路程是x千米.根据题意得2.2100326031xx.解得x=180.答：A、B两地的路程是180千米.思路三问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时？解：设汽车在普通公路行驶x小时,则在高速公路上行驶(2.2−x)小时.根据题意得260x=100(2.2−x).解得：x=1，所以2.2−x=1.2.答：汽车在普通公路上行驶了1小时，在高速公路行驶了1.2小时.2．重视实践，解决操作型问题操作型问题是指通过动手操作、作图、计算等、对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索、归纳概括、验证等来解决的一类问题．它既考查学生的动手能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力，更能培养学生的实践能力及创新能力，也有助于培养学生勤于实践的意识和习惯，符合新课程的“做中学”的新理念．操作型问题常见的有：(1)折叠剪拼类操作，图形折叠问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；图形剪拼问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形；(2)图形变换类操作，此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相(位)似等变换有关，掌握图形变换的性质是解这3类题的关键；(3)方案设计类操作，此类题是近几年来中考出现的新题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，是中考的热点之一，主要考查观察能力、图形的组合能力、设计能力等．例2问题探究:(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面积四等分；(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.问题解决:(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.【分析】(1)问比较简单，圆内两条互相垂直的直径即达到目的；(2)问中联想平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查；(3)问中可以考虑构造(1)(2)中出现的特殊四边形来解决，或用中点的性质来解决.【解】(1)如图①所示.(2)如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线PQ、EF将正方形ABCD的面积四等分.理由如下：∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴OA=OB，∠OAP=∠OBE=45°.∵PQ⊥EF，AC⊥BD，∴∠AOP+∠AOE=90°，∠BOE+∠AOE=90°.∴∠AOP=∠BOE.∴△POA≌△EOB(ASA).∴S△POA=S△EOB.即S四边形APOE=S△POA+S△EOA=S△EOB+S△EOA=S△AOB=41S正方形ABCD.同理S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DFOP=41S正方形ABCD.∴直线PQ、EF将正方形ABCD的面积四等分.(3)存在.当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下：如图③，延长BA到E，使AE=b，延长CD到点F，使DF=a，连接EF.∵BE=a+b=CF，BE∥CF.MDBCAPDBCA①②③图①MDBCAOPQEF图②4∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=a+b=BC，∴四边形BCFE是菱形.连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF.∴AM=DM，即点P、M重合.∴点P是菱形BCFE对角线的交点.在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a,设点P到菱形BCFE一边的距离为d，∴S△ABP+S△QBP=21(AB+BQ)d=21(CQ+CD)d=S△CQP+S△CDP.即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ.所以当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.或者：如图④，连接BP并延长交CD的延长线于点F，连接CP.∵AB∥CD，∴∠ABP=∠F.∵∠APB=∠DPF,AP=DP，∴△ABP≌△DFP.∴AB=DF.∵PB=PF，即CP是△BCF的中线，∴S△BCP=S△FCP.∵AB+CD=BC，∴DF+CD=BC，即CB=CF.∴∠CBF=∠F.∴∠ABP=∠CBF，即PB平分∠ABC.∴点P到AB、CB的距离相等.∵BC=a+b，BQ=b，∴CQ=AB=a.∴S△ABP=S△CPQ.∴S四边形ABQP=S四边形CDPQ.所以，当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.【说明】这是一道集操作、探索于一体的试题，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般知识迁徙的过程，考查学生的图形分析能力、动手操作能力，问题转化能力及知识的迁徙能力.3．以静制动，解决动态型问题动态型问题是以各种几何图形为载体，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约．解题时，要对几何元素的运动的全过程有一个清晰、完整的认识，不管点动、线动还是形动，都要从特殊情形入手，过渡到一般情形，注意临界位置，变中求不变，动中求静，以静制动，化动为静．解答这类题常常根据需要建立函数、不等式、方程等模型，考查学生的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法.例3如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．(1)证明△AMF是等腰三角形；(2)当EG过点D时(如图(3))，求x的值；(3)将y表示成x的函数，并求y的最大值．PDBCAQEFM图③PDBCAQF图④CABCDMGEFAFBCEDGMNABD(N)FEMG图（1）图（2）图（3）5【分析】(1)由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；(2)当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；(3)分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；【解】(1)证明：如图1，∵EF∥AD，∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE.∴∠GFE=∠BFE.∴∠A=∠AMF.∴△AMF是等腰三角形.(2)解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD=∠DQB=90°.∵AB∥DC，∴∠CDQ=90°．∵∠B=90°，∴四边形CDQB是矩形．∴CD=QB=2，QD=CB=6．∴AQ=10−2=8．在Rt△ADQ中，得：AD=3664=10，∴tan∠A=43，∴tan∠EFB=43FBEB.如图3，∵EB=x，∴FB=34x，C