【金版新学案】2014-2015学年高中数学模块综合检测B新人教A版选修2-2

1模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：求出复数z，再确定z对应的点的坐标．∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．答案：D2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．答案：B3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以函数y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错2C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0a1时，y＝ax是减函数；当a1时，y＝ax是增函数．答案：A4．若复数z＝1＋bi2＋i(b∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是()A．35iB．－35iC．iD．－i解析：因为z＝1＋bi2＋i＝＋b－＋－＝2＋b5＋2b－15i是纯虚数，所以2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2.所以z＝－i，则复数z的共轭复数是i.答案：C5．类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．③D．①②③解析：三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线→面”、“角→二面角”．答案：B6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－1处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()解析：由题意知f′(－1)＝0，当x－1时f′(x)0，当x－1时f′(x)0，∴当x－1时，x·f′(x)0，当－1x0时，x·f′(x)0，3当x0时，x·f′(x)0.答案：B7．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2且a1，则实数a的值是()A．2B．3C．5D．6解析：1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)|a1＝a2＋lna－1＝3＋ln2，所以a＝2.答案：A8．观察式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出一般式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n2＜12n－1(n≥2)B．1＋122＋132＋…＋1n2＜2n＋1n(n≥2)C．1＋122＋132＋…＋1n2＜2n－1n(n≥2)D．1＋122＋132＋…＋1n2＜2n2n＋1(n≥2)解析：由合情推理可得．答案：C9．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(9)等于()A．18B．22C．37D．46解析：f(3)＝7，f(4)－f(3)＝4，f(5)－f(4)＝5，…f(n)－f(n－1)＝n.以上各式相加：∴f(n)＝7＋4＋5＋…＋n∴f(9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋＋2＝46.答案：D410．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．又y′＝1x＋a，∴y′|x＝x0＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0.∴x0＝－1.∴a＝2.答案：B11．定义复数的一种运算z1*z2＝|z1|＋|z2|2(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为()A．92B．322C．32D．94解析：z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤a＋b22＝94，∴－ab≥－94，z*z≥9－2×94＝92＝322.答案：B12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x0时，有xfx－fxx20恒成立，则不等式f(x)0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意知g(x)＝fxx在(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝0，∵f(x)是R上的奇函数，∴g(x)是R上的偶函数．5f(x)x的草图如图所示：由图象知：当x1时，f(x)0，当－1x0时，f(x)0.∴不等式f(x)0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：根据题意先求出P，Q的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点．因为y＝12x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.答案：－414.01(1－x2＋x)dx＝________.解析：011－x2dx＝14π，01xdx＝12x2|10＝12－0＝12，∴01(1－x2＋x)dx＝14π＋12.答案：14π＋1215．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________________________________________________________________________________.解析：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S632.答案：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S63216．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m要使f(x)是R上的单调函数，需使Δ＝4－12m≤0，6∴m≥13.答案：m≥13三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若复数z＝1＋i，求实数a，b使得az＋2bz＝(a＋2z)2.解析：由z＝1＋i，可知z＝1－i，代入az＋2bz＝(a＋2z)2，得a(1＋i)＋2b(1－i)＝[a＋2(1＋i)]2，即a＋2b＋(a－2b)i＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i.所以a＋2b＝a＋2－4，a－2b＝a＋，解得a＝－4，b＝2或a＝－2，b＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解析：当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝11＋x－1＋2x.由于f(1)＝ln2，f′(1)＝32，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝32(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn(n＋1)n.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,12，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk(k＋1)k；那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x33－(a＋1)x2＋4ax＋b，其中a，b∈R.(1)若函数f(x)在x＝3处取得极小值12，求a，b的值；7(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若函数f(x)在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．解析：(1)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a，所以f′(3)＝9－6(a＋1)＋4a＝0，得a＝32.由f(3)＝12，解得b＝－4.(2)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝2a或x＝2.当a1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2a，＋∞)；当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)．(3)由题意可得a1，f－f，解得－12a12.所以a的取值范围是－12，12.21．(本小题满分13分)某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1200＋275x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足：P2＝kx，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x件时，总利润为L(x)(万元)，求L(x)的解析式；(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)．解析：(1)由题意有502＝k100，解得k＝25×104，∴P＝25×104x＝500x，∴总利润L(x)＝x·500x－1200－2x375＝－2x375＋500x－1200(x0)．(2)由(1)得L′(x)＝－225x2＋250x，令L′(x)＝0⇒250x＝225x2，令t＝x，得250t＝225t4⇒t5＝125×25＝55，∴t＝5，于是x＝t2＝25，8所以当产量定为25时，总利润最大．这时L(25)≈－416.7＋2500－1200≈883.答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元．22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)．(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝13是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[－a,1]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3，∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0.∴－a3≤1且f′(1)＝2a≥0.∴a≥0.(2)由题意知f′13＝0，即13＋2a3－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3＋4x2－3x.令f′(x)＝3x2＋8x－3＝0得x＝13或x＝－3.∵f(－4)＝12，f(－3)＝18，f13＝－1427，f(1)＝2，∴f(x)在[－a,1]上的最大值是f(－3)＝18.(3)若函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．∵x＝0是其中一个根，∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．∴Δ＝16＋＋b，－＋b，∴b－7且b