【高三总复习】2013高中数学技能特训10-5古典概型与几何概型(人教B版)含解析

10-5古典概型与几何概型基础巩固强化1.4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34[答案]C[解析]取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，∴所求概率为P＝46＝23.2．(2011·潍坊二检)若在区间[－π2，π2]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到12之间的概率为()A.13B.2πC.12D.23[答案]A[解析]当－π2≤x≤π2时，由0≤cosx≤12，得－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P＝π6＋π6π＝13.3．已知函数f(x)＝sinaπ3x，a等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y＝f(x)在[0,4]上至少有5个零点的概率是()A.13B.12C.23D.56[答案]C[解析]抛掷一颗骰子共有6种情况．当a＝1,2时，y＝f(x)在[0,4]上的零点少于5个；当a＝3,4,5,6时，y＝f(x)在[0,4]上的零点至少有5个，故P＝46＝23，选C.4．(2011·天津六校联考)某学校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则三年级应抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.24B．18C．16D．12[答案]C[解析]由题意得，x2000＝0.19.解得x＝380.∴y＋z＝2000－(373＋380＋377＋370)＝500.设三年级应抽取n人，则642000＝n500.∴n＝16.故选C.5．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为()A.13B.14C.16D.112[答案]C[解析]投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合Ω＝{(m，n)|1≤m≤6,1≤n≤6，m，n∈N}，∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m、n均为正整数，∴m＝n.故所求事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，Ω中共有36个基本事件，∴P＝636＝16.故选C.6．(文)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是()A.π4B.π8C.π6D.π12[答案]C[解析]设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为43πa23＝16πa3，故点M在球O内的概率为16πa3a3＝π6.(理)(2011·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6[答案]B[解析]以点O为圆心，半径为1的半球的体积为V＝12×43πR3＝2π3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P到点O的距离大于1的概率为P(A)＝1－23π8＝1－π12，故选B.7．(2011·皖南八校联考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，设向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是________．[答案]712[解析]∵cosθ＝m－n2·m2＋n2，θ∈0，π2，∴m≥n，满足条件m＝n的概率为636＝16，mn的概率与mn的概率相等，∴mn的概率为12×1－16＝512，∴满足m≥n的概率为P＝16＋512＝712.8．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________．[答案]25[解析]由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为22的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P＝410＝25，概率问题一定要弄明白概率模型．(理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．[答案]12[解析]∵方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴mn.由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴p＝12.9．(文)(2012·河北保定市模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．[答案]33[解析]∵直线与圆有公共点，∴|2k|k2＋1≤1，∴－33≤k≤33.故所求概率为P＝33－－331－－1＝33.(理)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝22a－2bx有不等实数根的概率为________．[答案]12[解析]方程x＝22a－2bx化为x2－22ax＋2b＝0，∵方程有两个不等实根，∴Δ＝8a－8b0，∴ab，如图可知，所求概率p＝12.10．(2012·天津文，15)某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，(ⅰ)列出所有可能的抽取结果；(ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率．[分析](1)根据抽样比例nN＝621＋14＋7＝17进行抽取．(2)由(1)知抽取的6所学校中有小学3所，用列举法求出基本事件总数n和2所均为小学的抽法数m，用古典概型公式P＝mn求解．[解析](1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为6×2121＋14＋7＝3,6×1421＋14＋7＝2,6－3－2＝1.(2)(ⅰ)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．(ⅱ)从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝315＝15.[点评]本小题主要考查分层抽样方法、用列举法求基本事件数、古典概型及其概率计算公式，同时考查学生数据处理能力，运用概率知识解决实际问题的能力.能力拓展提升11.(2012·安徽六校教育研究会联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，π4)的概率为()A.518B.512C.12D.712[答案]B[解析]连续投掷两次骰子的点数m、n，构成的向量a＝(m，n)，共有36个，a与b的夹角α∈(0，π4)，∴cosα＝a·b|a|·|b|＝mm2＋n2∈(22，1)，即22mm2＋n21，∴nm，满足要求的向量a有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共15个，∴所求概率P＝1536＝512.12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45[答案]C[解析]在长为12cm的线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝12－x，∴x(12－x)20，∴2x10，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分，如图∴P＝812＝23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm2”所表示区域的长度．(理)(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案]A[分析]在扇形OAB内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S1、S2，OA＝R，则S1＝2(S扇形DOC－S△DOC)，S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1.[解析]设图中阴影面积分别为S1，S2，令OA＝R，由图形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC)＝2[π·R224－12·(R2)2]＝πR2－2R28，S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1＝14πR2－π·(R2)2＋πR2－2R28＝πR2－2R28，∴所求概率P＝S1＋S2S扇形OAB＝πR2－2R2414πR2＝1－2π.[点评]1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．13．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1，1,2,3,4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．[答案]49[解析]函数f(x)＝ax2－4bx＋1图象的对称轴为x＝2ba.要使y＝f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，应有a0且2ba≤1，∴a≥2b且a0.①若a＝1，则b＝－2，－1；②若a＝2，则b＝－2，－1,1；③若a＝3，则b＝－2，－1,1；④若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；⑤若a＝5，则b＝－2，－1,1,2，∴该事件包含基本事件数为16，∴所求概率P＝166×6＝49.14．(文)若区域M＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，在区域M内的点的坐标为(x，y)，则x2－y2≥0的概率是________．[答案]12[解析]区域M是以(－2,0)，(2,0)，(0，－2)，(0,2)为顶点的正方形，如图所示，其中满足y2≤x2的是直线y＝x和y＝－x所夹的包含(－2,0)，(2,0)的两块区域即阴影部分，这个区域的面积恰好是区域M面积的一半，故所求的概率为12.(理)(2012·昆明第一中学测试)设曲线y＝x，直线x＝1，x轴所围成的平面区域为M，Ω＝x，y0≤x≤1，0≤y≤1.，向区域Ω内随机投一点A，则点A落在M内的概率为________．[答案]23[解析]区域Ω的面积S＝1，区域M的面积S1＝01xdx＝23x32|10＝23，故所求概率P＝23.15．设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m、n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．[解析](1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2由于m、n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4