【高中数学备课参考】计数原理排列组合及二项式定理(二)排列组合题型总结

第1页共6页排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法1．特殊元素优先法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有19P×110P=90中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4．有4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44P种排法，而男生之间又有44P种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44P×44P=576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324PC=36）练习2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（129C×1928P）.（注意连续参观2天，即需把30天中的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是19所学校选28天进行排列）五．隔板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。第2页共6页分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C=330种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？解析1：当项中只有一个字母时，有14C种（即a.b.c.d而指数只有15故01414CC。当项中有2个字母时，有24C,而指数和为15，即将15分配给2个字母时，由隔板法一分为2，得114C即11424CC;当项中有3个字母时，字母组合数为34C，指数15分三组给字母即可，从而得不同组合数为：当项中4个字母都在时四者都相加即可．31444214341142401414CCCCCCCC=816。解析2：用15个相同的小球代表幂指数15,用4个标有1x、2x、…、4x的4个不同的盒子表示数1x、2x、…、4x，将15个相同的小球放入4个不同的盒子中，把标有ix（i=1,2,…,4）每个盒子得到的小球数ik（i=1，2，…，4;ikN），记作ix的ik次方。这样，将15个相同的小球放入4个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有318C种，故15421)(xxx的展开式中共有318C项。318C=123161718=816（种）。所以，15421)(xxx展开式中共有816项。练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，问有多少种不同的方法？（216C=120）练习3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的正整数解有（4999C）；不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的非负整数解有（49149C）；六．平均分堆问题例6．把6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由于顺序不同可以有33P=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426PCCC=15种练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？（15种）2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则不同的分派方法的种数有（90）。七．合并单元格解决染色问题例7（全国卷（文、理））如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．24315第3页共6页下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素○24①③⑤的全排列数44P；（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得44P种着色法．（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格○24○35①，从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有34P种方法．由加法原理知：不同着色方法共有244P+34P=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）图3图4解析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5、6．下面分情况讨论:(ⅰ)当6、4颜色相同，5有2种颜色可以选择，将2、3颜色一定相异，此时不同的着色方法为22121314PCCC；（ⅱ）当6、4颜色不同，此时5只有一种颜色可选，此时考虑2、3着色。2着的颜色与4同色，则3有二种颜色可以选择；2着的颜色与4不同色，则3只有一种颜色可以选择。故此时不同的着色方法为)12(121314CCC由加法原理知：不同着色方法共有22121314PCCC+)12(121314CCC=120（种）3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）第4页共6页图5图65．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。例。一个楼梯共10个台阶7步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解析：要7步登完10个台阶，只有其中3步每步登两个台阶，还有4步每步登一个台阶，转化为4个相同的白球和3个相同的黑球排成一排的问题，故有3537C（种）。九.几何问题1．四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种。（335C+3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点；(1)从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？分析：问题（1）的解决可考虑间接法，即从3个点的组合扣除3点共线、四点共面和六点共面的情形，并注意到每条棱包含于两个面；问题（2）首先要对凸棱锥的类型做出判断，然后分类统计．解析：（1）四面体的每一个面上的6个点只能确定同一个平面（注意其中六条棱上的三点被二个面各使用了一次，要补上），六个中点中又有3对互相平行的连线，每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面（注意六条棱上的三点又被使用了一次,要补上），由间接解法，共能确定不同平面个数为：)666()33()644(343436310CCCC=29；（2）依四面体的性质，若从10个点中取顶点作棱锥，只能是三棱锥和四棱锥．每一组不共面的4点确定一个三棱锥，每一无三点共线的共面4点与该平面外一点确定一个四棱锥。对于三棱锥的个数，即不考虑限制后，减去4个面上4点共面虚构的、6条棱上三点共线虚构的和3对平行中位线4点共面虚构的三棱锥．所以三棱锥有C104-4C64-6C44-3C44=141（个）。又每一面上6点，仅确定6个不同凸四边形，再以不在该面上的另外4点之一为第5个顶点，可做成四棱锥，所以共有4×64个；又每对平行的中位线段为四边形二边可确定一个底面四边形，另取其余6点之一为第5个顶点，可做四棱锥，所以共有36个，即共有不同四棱锥6×4×4+3×6=114（个）。所以共能做成不同的棱锥141＋114＝255个．点评：处理几何计数问题时，必须综合运用相应的几何概念，发挥空间想象和图形分析能力，要特别重视对应关系及对重复现象的判断．问题（1）的解决也可采用分类穷举法．十．先选后排法例9有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种分析：先从10人中选出2人承担甲任务，再在余下8人中选择1人承担乙任务，最后在余下7人中选一个承担丙任务。1718210CCC=2520（种）。选C。第5页共6页十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25P=20种例11．现有5个人参加秋游，一共带了10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的携带饮料的方法．解：把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球间的9个空隙的排列问题．49C=126种。例12．从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个自然数，其中任意二个都不连续的自然数，问有多少种不同的取法？解把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球排成一排，其中黑球不相邻的排列问题：10991C。注意，如果只是要求10个不连续，但允许其中有二个可以相连的或三个相连等等，那么不同的取法有991101000C。例13某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．解：无论怎样走必须经过三横四纵。因此，问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题：37C=35（种）例14一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白