【高考数学复习】热点难点精讲精析2.2函数的单调性与最值

12014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.（2）作差：即f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。（3）定号：根据给定的区间和x2-x1符号，确定差f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。（4）判断：根据定义得出结论。2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能求导的用导数法，其思维流程为：（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在(,0)(0,)和内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即,00,内单调递减，只能分开写，即函数的单2调减区间为(,0)(0,)和，不能用“∪”2．例题解析〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______.(2)判断函数x2yx1在(-1，+∞)上的单调性.【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.(1)转化为基本初等函数的单调性去判断；(2)可用定义法或导数法.解析：(1)函数f(x)的定义域为(12，+∞)，令t=2x+1(t0),因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(12，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(12,+∞).答案：(12，+∞)(2)方法一：定义法：设x1x2-1,则.1221121212x2x2xxyyx1x1x1x1∵x1x2-1,x2-x10,x1+10,x2+10,,2112xx0x1x1即y1-y20,y1y2.x2yx1在(-1,+∞)上是减函数.方法二：导数法：(),22x1x2x21yx1x1x1∴在(-1，+∞)上，y′0,故x2yx1[在(-1,+∞)上为减函数.〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解析：设y=u，u=x2+x-6．3由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．又∵函数y=u是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞)上是递增的．〖例3〗设，(1)试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有;解析:1)∵0且2－x≠0∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴………………………………3分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分4用数学归纳法易证证略.……12分二、应用函数的单调性1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解析〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是______.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【方法诠释】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.5解析：(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-mm2,即m2+m-20.解得:m-2或m1.所以m的取值范围为:(-∞,-2)∪(1,+∞).答案：(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，∴函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2)在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x)在［0,2］上单调递增，又f(-1)=f(1),012,∴f(2)f(-1)f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2)f(-1)f(0).注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.〖例2〗已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围．【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x10，∴f(x2-x1)＞1，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,6∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R上是增函数.(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴不等式f(3m2-m-2)＜3即为f(3m2-m-2)＜f(2).又∵f(x)在R上是增函数，∴3m2-m-2＜2，解得41m3＜＜．因此不等式的解集为{m|41m3＜＜}；(3)令a=b=0,得f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1.∵f(nx-2)+f(x-x2)＜2，即f(nx-2)+f(x-x2)-1＜1，∴f(nx-2+x-x2)＜f(0)．由(1)知nx-2+x-x2＜0恒成立，∴x2-(n+1)x+2＞0恒成立．∴Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0,.221n221＜＜注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+)(1xf，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论解析：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，∴f(x2)=f(x1)，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxF7∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，∴当x10时0f(x)1,而当x10时f(x)1；①若x1x25，则0f(x1)f(x2)1，②∴0f(x1)f(x2)1，∴)()(1121xfxf0，∴F(x2)F(x1)；②若x2x15，则f(x2)f(x1)1，∴f(x1)f(x2)1∴)()(1121xfxf0∴F(x2)F(x1)综上，F(x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数注：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大小，或f(x1)/f(x2)与大小。有时根据需要，需作适当的变形：如11212122xxxxxxxx或等。〖例2〗已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值．思路分析：用定义法判断抽象函数的单调性；求函数的最值需借助函数的单调性进行。解答：(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0．再令y=-x，得f(-x)=-f(x)．在R上任取x1＞x2，则Δx=x1-x2＞0，Δy=f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(Δx),又∵x＞0时，f(x)＜0．而Δx＞0，∴f(Δx)＜0，即Δy0．因此f(x)在R上是减函数．方法二：在R上任取x1，x2，不妨设x1＞x2，则Δx=x1-x20,Δy=f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)8=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)=f(Δx)又∵x＞0时，f(x)＜0，而Δx＞0，∴f(Δx)＜0，即Δy0．因此f(x)在R上是减函数.(2)∵f(x)在R上为减函数，∴f(x)在［-3，3］上也为减函数，∴f(x)在［-3，3］上的最大值为f(-3)、最小值为f(3)，而f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2，∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3),∴f(-3)=-f(3)=2,因此，f(x)在［-3，3］上的最大值为2，最小值为-2.【方法指导】求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．