【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练15

题组层级快练(十五)1．y＝ln(－x)的导函数为()A．y′＝－1xB．y′＝1xC．y′＝ln(x)D．y′＝－ln(－x)答案B2．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A．(－1,1)B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(1，－1)答案C解析y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.3．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是()A．y＝2x－2B．y＝2x＋2C．y＝x－1D．y＝x＋1答案C解析∵y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1.∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝x－1.4．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2014＋lnx)，f′(x0)＝2015，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e答案B解析由题意可知f′(x)＝2014＋lnx＋x·1x＝2015＋lnx.由f′(x0)＝2015，得lnx0＝0，解得x0＝1.5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0答案B解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.6．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是()答案A解析由题意知－b2＞0，4c－b24＜0，即b＜0，b2＞4c.又f′(x)＝2x＋b，∴f′(x)的图像为A.7．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数答案C8．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝()A．0B.22C.2D．2答案C解析如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝1x，令1x＝1，得x＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝22＝2.故选C.9．曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点M(π4，0)处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22答案B解析∵y′＝1sinx＋cosx2·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝1sinx＋cosx2，∴y′|x＝π4＝12，∴k＝y′|x＝π4＝12.10．(2015·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－12≤x≤12)图像上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.5π6B.3π4C.π4D.π6答案B解析由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2ex·e－x－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα0，所以α的最小值为3π4，故选B.11．已知y＝13x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)12．已知函数f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，所以f(π4)的值为________．答案1解析因为f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，所以f′(π4)＝－f′(π4)sinπ4＋cosπ4，所以f′(π4)＝2－1.故f(π4)＝f′(π4)cosπ4＋sinπ4＝1.13．(2013·江西文)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案2解析由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.14．(2015·广东肇庆一模)曲线f(x)＝exx－1在x＝0处的切线方程为________．答案2x＋y＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝x－1ex′－exx－1′x－12＝x－2exx－12，故切线的斜率为k＝f′(0)＝0－2e00－12＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(x－0)⇒2x＋y＋1＝0，故填2x＋y＋1＝0.15．(2015·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案12log2e解析∵y′＝1xln2，∴k＝1ln2.∴切线方程为y＝1ln2(x－1)．∴三角形面积为S△＝12×1×1ln2＝12ln2＝12log2e.16．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2,6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c＝4.17．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案(1)y＝13x－32(2)切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)∵切线与直线y＝－14x＋3垂直，∴切线的斜率为k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4.∴x0＝±1.∴x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.18．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案(1)f(x)＝x－3x(2)定值为6解析(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋3x20)(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝(1＋3x20)(x－x0)．令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12|－6x0||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．若曲线y＝lnx(x0)的一条切线是直线y＝12x＋b，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2答案C解析∵y＝lnx的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2.∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝12x＋b，得b＝ln2－1.2．下列图像中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝()A.13B．－13C.73D．－13或53答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴，(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图像．∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a0，∴a2－1＝0，a0，∴a＝－1.∴y＝f(x)＝13x3－x2＋1.∴f(－1)＝－13，选B.3．y＝x2sinx2cosx2的导数为________．答案y′＝xsinx＋12x2cosx.