【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练17

题组层级快练(十七)(第一次作业)1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0答案C解析∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x－1时，f′(x)0，当－1x0时，f′(x)0，当0x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．2．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0答案C解析∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如右图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()答案C解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，当x－2时，f′(x)0，则xf′(x)0；当－2x0时，f′(x)0，则xf′(x)0；当x0时，xf′(x)0.4．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0答案D解析y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，13是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴－2b3a＝13，∴a＋2b＝0.5．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则()A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜12答案A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.∴b＞0.f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.综上，b的取值范围为0＜b＜1.6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对答案A解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减．∴x＝0为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.7．若函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为()A．[2，＋∞)B．[4，＋∞)C．{4}D．[2,4]答案C解析f′(x)＝3ax2－3，当a≤0时，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当0a≤1时，f′(x)＝3ax2－3＝3a(x＋1a)(x－1a)，f(x)在[－1,1]上为减函数，f(x)min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当a1时，f(－1)＝－a＋4≥0，且f(1a)＝－2a＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4.8．若函数f(x)＝e－x·x，则()A．仅有极小值12eB．仅有极大值12eC．有极小值0，极大值12eD．以上皆不正确答案B解析f′(x)＝－e－x·x＋12x·e－x＝e－x(－x＋12x)＝e－x·1－2x2x.令f′(x)＝0，得x＝12.当x12时，f′(x)0；当x12时，f′(x)0.∴x＝12时取极大值，f(12)＝1e·12＝12e.9．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.答案－23－16解析y′＝ax＋2bx＋1.由已知a＋2b＋1＝0，a2＋4b＋1＝0，解得a＝－23，b＝－16.10．若f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＋b＝________.答案－7解析由x＝1时，f(x)有极值10知，f(1)＝10，f′(1)＝0，∴1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0，即a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.当a＝4，b＝－11时，f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．当x∈(－113，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，故当x＝1时，f(x)为极小值．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，即x＝1时，不取极值，a＝－3，b＝3应舍去．所以a＋b＝－7.11．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．答案6解析f′(x)＝3x2－4cx＋c2，∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′2＝0，f′x0x2，f′x0x2.解得c＝6.12．(2015·保定调研卷)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．答案(1)a＝－1，b＝3(2)最大值为0，无最小值解析(1)f′(x)＝1＋2ax＋bx(x0)，又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，∴f1＝0，f′1＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得a＝－1，b＝3.(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴g(x)＝2－x－x2＋3lnx，x0.则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－12x＋3x.当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．13．(2015·郑州一模)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－13是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[1，a]上的最大值；(3)设函数g(x)＝f(x)－bx，在(2)的条件下，若函数g(x)恰有3个零点，求实数b的取值范围．答案(1)a≤0(2)－6(3)b－7且b≠－3解析(1)f′(x)＝3x2－2ax－3，∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立．则必有a3≤1，且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0.(2)依题意，f′(－13)＝0，即13＋23a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－13，x2＝3.则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.(3)函数g(x)有3个零点⇔方程f(x)－bx＝0有3个不相等的实根．即方程x3－4x2－3x＝bx有3个不等实根．∵x＝0是其中一个根，∴只需满足方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．∴Δ＝16＋43＋b0，－3－b≠0.∴b－7且b≠－3.故实数b的取值范围是b－7且b≠－3.14．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围．答案(1)极小值点为x1＝32，极大值点为x2＝12(2)(0,1]解析对f(x)求导得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax1＋ax22.(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.又当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x(－∞，12)12(12，32)32(32，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．结合(1)与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，得0a≤1.即实数a的取值范围是(0,1]．15．(2014·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex.答案(1)a＝2，极小值为f(ln2)＝2－ln4(2)略解析(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x，由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex.