【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练23

题组层级快练(二十三)1.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32答案C解析sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝()A.18B．－18C.47D．－47答案D解析tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋β·tanα－β＝3＋51－3×5＝－47.3．若cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－a2B.a2C．－aD．a答案C解析sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.4．已知过点(0,1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝()A．－73B.73C.57D．1答案D解析由题意知tanα＝2，tanβ＝－13.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131－2×－13＝1.5．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析在△ABC中，A＝π－(B＋C)，∴cosA＝－cos(B＋C)．又∵cosA＝2sinBsinC，即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC.∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝π2，∴B为钝角．6．已知sinα＝1213，cosβ＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于()A.3365B.6365C．－1665D．－5665答案A解析因为α是第二象限角，且sinα＝1213，所以cosα＝－1－144169＝－513.又因为β是第四象限角，cosβ＝45，所以sinβ＝－1－1625＝－35.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.7．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于()A.π3B.2π3C.π6D.π4答案A解析由已知得tanA＋tanB＝－3(1－tanAtanB)，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－3.又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，0Cπ，∴C＝π3.8．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α是第二象限角，则tan(π4＋α)等于()A．7B．－7C.17D．－17答案C解析∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，∴cosα＝－45.又α是第二象限角，∴sinα＝35，则tanα＝－34.∴tan(π4＋α)＝tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝1－341＋34＝17.9．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bca答案B解析a＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c＝62＝2sin60°，∴bca.10．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则cosAcosB＝()A.14B.34C.12D．－14答案B解析tanA＋tanB＝sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sinA＋BcosAcosB＝sin60°cosAcosB＝32cosAcosB＝233，∴cosAcosB＝34.11.如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝()A.31010B.1010C.510D.515答案B解析因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝π4.在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝55，cos∠BEC＝255.sin∠CED＝sin(π4－∠BEC)＝22cos∠BEC－22sin∠BEC＝22(255－55)＝1010.12．(2013·新课标全国Ⅱ理)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sinθ＋cosθ＝________.答案－105解析由tan(θ＋π4)＝1＋tanθ1－tanθ＝12，得tanθ＝－13，即sinθ＝－13cosθ.将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得109cos2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cosθ＝－31010，sinθ＝1010.所以sinθ＋cosθ＝－105.13．化简：sin3α－πsinα＋cos3α－πcosα＝________.答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsinα＋－cos3αcosα＝－sin3αcosα＋cos3αsinαsinαcosα＝－sin4αsinαcosα＝－4sinαcosα·cos2αsinαcosα＝－4cos2α.14．求值：(1)1sin10°－3sin80°＝________；(2)3－sin70°2－cos210°＝________.答案(1)4(2)2解析(1)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin30°－10°sin20°＝4.(2)3－sin70°2－cos210°＝3－cos20°2－cos210°＝3－2cos210°－12－cos210°＝4－2cos210°2－cos210°＝2.15．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________.答案12解析tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β＝1－24＝12.16．(2015·东北三校模拟)若cos(α＋π6)－sinα＝335，则sin(α＋5π6)＝________.答案35解析∵cos(α＋π6)－sinα＝335，∴32cosα－12sinα－sinα＝335.即32cosα－32sinα＝335，得cosα－3sinα＝65.∴sin(α＋5π6)＝sinαcos5π6＋cosαsin5π6＝－32sinα＋12cosα＝12(cosα－3sinα)＝12×65＝35.17．已知α，β∈(0，π2)，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值．(2)求cosβ的值．答案(1)－1010(2)91050解析(1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2α－βπ2.又∵tan(α－β)＝－130，∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.18．(2015·衡水调研卷)已知函数f(x)＝sin(x＋7π4)＋cos(x－3π4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0αβ≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.答案(1)T＝2π，最小值为－2(2)略解析(1)∵f(x)＝sin(x＋7π4－2π)＋sin(x－3π4＋π2)＝sin(x－π4)＋sin(x－π4)＝2sin(x－π4)，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，∴cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45，两式相加，得2cosβcosα＝0.∵0αβ≤π2，∴β＝π2.由(1)知f(x)＝2sin(x－π4)，∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝4×(22)2－2＝0.1.sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值为()A．2＋3B．2－3C．2D.12答案B解析原式＝sin15°－8°＋cos15°sin8°cos15°－8°－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－3.2．(2015·杭州外国语学校)已知tan(α＋π6)＝12，tan(β－π6)＝13，则tan(α＋β)＝________.答案1解析∵α＋β＝(α＋π6)＋(β－π6)，∴tan(α＋β)＝tanα＋π6＋tanβ－π61－tanα＋π6tanβ－π6＝12＋131－16＝1.3．已知sin(α＋π6)＝－45，α∈(－π2，π2)，求sinα的值．答案－43＋310解析∵α∈(－π2，π2)，∴α＋π6∈(－π3，2π3)．又sin(α＋π6)＝－450，∴α＋π6∈(－π3，0)．∴cos(α＋π6)＝1－sin2α＋π6＝35.∴sinα＝sin[(α＋π6)－π6]＝sin(α＋π6)cosπ6－cos(α＋π6)sinπ6＝(－45)32－35·12＝－43＋310.4．已知π2βα3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝1213，求cos2α的值．答案－3365解析∵0α－βπ4，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－12132＝513.∵πα＋β3π2，∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－－352＝－45.于是cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝(－45)×1213－(－35)×513＝－3365.