【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练28

题组层级快练(二十八)1．已知△ABC，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B.5C．25或5D．均不正确答案C解析∵asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝155·sin30°＝32.∵ba，∴B＝60°或120°.若B＝60°，C＝90°，∴c＝a2＋b2＝25.若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝5.2．(2014·江西文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A．－19B.13C．1D.72答案D解析由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2(sinBsinA)2－1＝2(ba)2－1，因为3a＝2b，所以ba＝32，所以2sin2B－sin2Asin2A＝2×(32)2－1＝72.3．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB2－2×2ABcos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3.故BC边上的高是ABsin60°＝332.选B.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a，则()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案A解析据题意由余弦定理可得a2＋b2－2abcos120°＝c2＝(2a)2，化简整理得a2＝b2＋ab，变形得a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝ab0，故有a－b0，即ab.5．(2015·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(2，3)B．(1，3)C．(2，2)D．(0,2)答案A解析由asinA＝bsinB＝bsin2A，得b＝2cosA.π2A＋B＝3Aπ，从而π6Aπ3.又2Aπ2，所以Aπ4，所以π6Aπ4，22cosA32，所以2b3.6．(2015·江西七校一联)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，则有A＋B＝π2，故三角形为直角三角形．7．(2015·东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B＝()A.π6B.π4C.π3D.3π4答案C解析由sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入整理得c－bc－a＝ac＋b⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝12，所以B＝π3，故答案为C.8．(2015·济宁一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝3acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B.2C.3D．3答案C解析∵csinA＝3acosC，∴sinCsinA＝3sinAcosC.即sinC＝3cosC.∴tanC＝3，C＝π3，A＝2π3－B.∴sinA＋sinB＝sin(2π3－B)＋sinB＝3sin(B＋π6)．∵0B2π3，∴π6B＋π65π6.∴当B＋π6＝π2，即B＝π3时，sinA＋sinB的最大值为3.故选C.9．(2014·新课标全国Ⅱ理)已知钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1答案B解析由题意可得12AB·BC·sinB＝12，又AB＝1，BC＝2，所以sinB＝22，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝5.故选B.10．在△ABC中，若AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．答案34或32解析如图所示，由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝32.而cb，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝12bcsinA＝32或34.11．(2014·广东理)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________.答案2解析方法一：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2b.化简可得ab＝2.方法二：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB.故sin(B＋C)＝2sinB.故sinA＝2sinB，则a＝2b，即ab＝2.12．(2014·天津理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．答案－14解析由已知及正弦定理，得2b＝3c.因为b－c＝14a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－14.13．(2015·河北唐山一模)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________.答案34解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.∴2sinB＝sinA＋sinC.∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC.∴2sinB＝cosC＋sinC.∴2sinB＝2sin(C＋45°)．①∵A＋B＋C＝180°且A－C＝90°，∴C＝45°－B2，代入①式中，2sinB＝2sin(90°－B2)．∴2sinB＝2cosB2.∴4sinB2cosB2＝2cosB2.∴sinB2＝24.∴cosB＝1－2sin2B2＝1－14＝34.14．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．答案27解析由正弦定理可得ABsinC＝BCsinA＝3sin60°＝2，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA，AB＋2BC＝2(sinC＋2sinA)＝2[sinC＋2sin(120°－C)]＝2(3cosC＋2sinC)＝27sin(C＋φ)(其中cosφ＝27，sinφ＝37)．∴当C＋φ＝90°，即C＝90°－φ时，AB＋2BC＝27sin(C＋φ)取得最大值27.15．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案③解析①sin2A＝sin2B，∴A＝B⇒△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π⇒A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．故①不对．②sinA＝cosB，∴A－B＝π2或A＋B＝π2.∴△ABC不一定是直角三角形．③sin2A＋sin2B1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2c2.∴△ABC为钝角三角形．16．(2014·安徽文)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2，求cosA与a的值．答案cosA＝13，a＝22或cosA＝－13，a＝23解析由三角形面积公式，得12×3×1·sinA＝2.故sinA＝223.因为sin2A＋cos2A＝1，所以cosA＝±1－sin2A＝±1－89＝±13.①当cosA＝13时，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×13＝8.所以a＝22.②当cosA＝－13时，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×－13＝12.所以a＝23.17．(2015·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sinB,1－cosB)与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．答案(1)23π(2)(3，2]解析(1)∵m＝(sinB,1－cosB)，n＝(2,0)，∴m·n＝2sinB，|m|＝sin2B＋1－cosB2＝2－2cosB＝2|sinB2|.∵0Bπ，∴0B2π2.∴sinB20.∴|m|＝2sinB2.又∵|n|＝2，∴cosθ＝m·n|m|·|n|＝2sinB4sinB2＝cosB2＝12.∴B2＝π3，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos23π＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－(a＋c2)2＝34(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.又a＋cb＝3，∴a＋c∈(3，2]．1．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.答案1∶1∶3解析∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，∴a∶b∶c＝sin30°∶sin30°∶sin120°.∴a∶b∶c＝1∶1∶3.2．在△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.答案23解析由cosC＝13，得sinC＝223.∴S△ABC＝12absinC＝12×32×b×223＝43.∴b＝23.3．(2013·山东理)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．答案(1)a＝c＝3(2)10227解析(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)．又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.4．(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．答案(1)π3(2)72解析(1)方法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝12.由于0Aπ，故A＝π3.方法二：由题设可知，2b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.由于0Aπ，故A＝π3.(2)方法一：因为AD→2＝(AB→＋AC→2)2＝14(AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→)＝14(1＋4＋2×1×2×cosπ3)＝74，所以|AD→|＝72，从而AD＝72.方法二：因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝π2.因为BD＝32，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.5．(2013·新课标全国Ⅰ理)如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.答案(1)72(2)34解析(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋14－2×3×12cos30