【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练41

题组层级快练(四十一)1．若a，b∈R，下列命题中①若|a|＞b，则a2＞b2；②若a2＞b2，则|a|＞b；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|.其中正确的是()A．①和③B．①和④C．②和③D．②和④答案C解析条件|a|＞b，不能保证b是正数，条件a＞|b|可保证a是正数，故①不正确，③正确．a2＞b2⇒|a|＞|b|≥b，故②正确，④不正确．2．(2015·宁波十校联考)设a∈R，则a1是1a1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a1，则1a1成立；反之，若1a1，则a1或a0.即a1⇒1a1，而1a1a1，故选A.3．设ab0，下列各数小于1的是()A．2a－bB．(ab)12C．(ab)a－bD．(ba)a－b答案D解析方法一：(特殊值法)取a＝2，b＝1，代入验证．方法二：y＝ax(a0且a≠1)．当a1，x0时，y1；当0a1，x0时，0y1.∵ab0，∴a－b0，ab1,0ba1.由指数函数性质知，D成立．4．(2013·北京改编)若a，b，c∈R，ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．a|c|b|c|C.1a1bD.ac2＋1bc2＋1答案D解析方法一：(特殊值法)令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，C均错，故选D.方法二：(直接法)∵ab，c2＋10，∴ac2＋1bc2＋1，故选D.5．(2013·天津文)设a，b∈R，则“(a－b)·a20”是“ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若(a－b)·a20，则a≠0，且ab，所以充分性成立；若ab，则a－b0，当a＝0时，(a－b)·a2＝0，所以必要性不成立．故“(a－b)·a20”是“ab”的充分而不必要条件．6．如果a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(c－a)0答案C解析由题意知c0，a0，则A，B，D一定正确，若b＝0，则cb2＝ab2.故选C.7．设ab，则下列不等式恒成立的为()A．(a＋c)4(b＋c)4B．ac2bc2C．lg|b＋c|lg|a＋c|D．(a＋c)13(b＋c)13答案D解析应用不等式的性质可以判断每个不等式成立与否，但要注意每个选项上来看都是对的，因此需要我们利用性质认真判别．当ab，a＋c与b＋c为负数时，由0a＋cb＋c，得0－(a＋c)－(b＋c)．所以0[－(a＋c)]4[－(b＋c)]4，即(a＋c)4(b＋c)4.所以A不成立；当c＝0时，ac2＝bc2，∴B不成立；当ab，得a＋cb＋c，但若a＋c，b＋c均为负数时，|a＋c||b＋c|，即lg|a＋c|lg|b＋c|.故C不恒成立．故选D.8．设a，b∈(－∞，0)，则“ab”是“a－1ab－1b”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵(a－1a)－(b－1b)＝(a－b)(1＋1ab)，又1＋1ab0，若ab，则(a－b)(1＋1ab)0，所以a－1ab－1b成立；反之，若(a－b)(1＋1ab)0，则ab成立．故选C.9．设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B．log12blog12a0C．2b2a2D．a2ab1答案C解析方法一：特值法．取b＝14，a＝12.方法二：0ba⇒b2ab，A不对；y＝log12x在(0，＋∞)上为减函数，∴log12blog12a，B不对；ab0⇒a2ab，D不对，故选C.10．设a，b为实数，则“0ab1”是“b1a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析一方面，若0ab1，则当a0时，0b1a，∴b1a不成立；另一方面，若b1a，则当a0时，ab1，∴0ab1不成立，故选D.11．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac答案C解析a－b＝ln23－ln3260⇒ab，a－c＝ln25－ln52100⇒ac，∴cab.12．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定答案B解析设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0v1v2，总路程为2s，则甲用时间为sv1＋sv2，乙用时间为4sv1＋v2，而sv1＋sv2－4sv1＋v2＝sv1＋v22－4sv1v2v1v2v1＋v2＝sv1－v22v1v2v1＋v20，故sv1＋sv24sv1＋v2，故乙先到教室．13．若loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是______．答案12a1解析∵a2＋12a，loga(a2＋1)loga2a，∴0a1.∵loga(2a)loga1，∴2a1，∴a12，∴12a1.14．已知a0，－1b0，则a，ab，ab2的大小关系是________．答案aab2ab解析∵a－ab＝a(1－b)0，∴aab.∵ab－ab2＝ab(1－b)0，∴abab2.∵a－ab2＝a(1－b2)0，∴aab2.综上，aab2ab.故填aab2ab.15．设abc0，x＝a2＋b＋c2，y＝b2＋c＋a2，z＝c2＋a＋b2，则x，y，z的大小顺序是________．答案zyx解析∵abc0，∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)0，∴y2x2，即yx.z2－y2＝c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)0，故z2y2，即zy，故zyx.16．若a1，b1，则下列两式的大小关系为ab＋1____a＋b.答案解析(ab＋1)－(a＋b)，＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，∵a1，b1，∴1－a0,1－b0，∴(1－a)(1－b)0，∴ab＋1a＋b.17．已知a＋b0，比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小．答案ab2＋ba2≥1a＋1b解析ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)1b2－1a2＝a＋ba－b2a2b2.∵a＋b0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0.∴ab2＋ba2≥1a＋1b.18．已知a0且a≠1，比较loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大小．答案loga(a3＋1)loga(a2＋1)解析当a1时，a3a2，a3＋1a2＋1.又y＝logax为增函数，所以loga(a3＋1)loga(a2＋1)；当0a1时，a3a2，a3＋1a2＋1.又y＝logax为减函数，所以loga(a3＋1)loga(a2＋1)．综上，对a0且a≠1，总有loga(a3＋1)loga(a2＋1)．19．求证：(1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；(2)(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．答案略证明(1)a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ac)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2acbd－b2d2＝(ad－bc)2≥0，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．1．已知a，b，c，d为实数，满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，则在a，b，c，d中()A．有且仅有一个为负B．有且仅有两个为负C．至少有一个为负D．都为正数答案C解析假设a，b，c，d均非负，则由a＋b＝c＋d＝1，得a，b，c，d均在[0,1]中，所以ac＋bd≤a＋b＝1，但这与已知ac＋bd1矛盾，故假设不成立，从而a，b，c，d中至少有一个为负，即D错误，取a＝c＝2，b＝d＝－1，则可排除A；再取a＝3，b＝－2，c＝1，d＝0，则可排除B，故选C.2．若a，b为实数，则1a＜1b成立的一个充分而不必要的条件是()A．b＜a＜0B．a＜bC．b(a－b)＞0D．a＞b答案A解析由ab⇒1a＜1b成立的条件是ab＞0，即a，b同号时，若a＞b，则1a＜1b；a，b异号时，若ab，则1a＞1b.3．如果一辆汽车每天行驶的路程比原计划多19km，那么在8天内它的行程s就超过2200km，如果它每天行驶的路程比原计划少12km，那么它行驶同样的路程s得花9天多的时间，这辆汽车原计划每天行驶的路程(km)范围是________．答案(256,260)解析这辆汽车原计划每天行驶的路程为xkm，则8x＋192200，9x－128x＋19，解之得256x260.4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________条件．答案充分不必要解析因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足；反之，不成立，如x＝y＝74，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．5．设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b1；②若1b－1a＝1，则a－b1；③若|a－b|＝1，则|a－b|1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)答案①④解析对于①，若a－b≥1，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1；又a0，b0，于是有a＋ba－b≥1，此时(a＋b)·(a－b)1，这与“a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1”相矛盾，因此a－b1，①正确．对于②，取a＝2，b＝23，有1b－1a＝1，此时a－b1，因此②不正确．对于③，取a＝9，b＝4，有|a－b|＝1，但此时|a－b|＝51，因此③不正确．对于④，由|a3－b3|＝1，得|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1，|a－b|(a2＋ab＋b2)|a－b|(a2－2ab＋b2)＝|a－b|3，于是有|a－b|31，|a－b|1，因此④正确．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．答案4解析方法一：设等差数列{an}的公差为d，依题意有4a1＋4×32d≥10，即2a1＋3d≥5；5a1＋5×42d≤15，即a1＋2d≤3，注意到a4＝a1＋3d＝－(2a1＋3d)＋3(a1＋2d)≤－5＋3×3＝4，因此a4的最大值为4.方法二：由S4≥10，S5≤15，得4a1＋6d≥10，5a1＋10d≤15，即2a1＋3d≥5，a1＋2d≤3.求a4＝a1＋3d最值．属于线性规划问题，平面区域为2x＋3y≥5，x＋2y≤3，求目标函数z＝x＋3y最大值．目标函数z是一组斜率为－13的平行线，直线越向上z值越大，直线离开平面区域的最后一个点的坐标为(1,1)，所以zmax＝1＋3＝4.