【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练45

题组层级快练(四十五)1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b答案D解析只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2a，b2b，∴a2＋b2a＋b.2．若x0，则x＋2x的最小值是()A．2B．4C.2D．22答案D解析由基本不等式可得x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2x即x＝2时取等号，故最小值是22.3．若0x32，则y＝x(3－2x)的最大值是()A.916B.94C．2D.98答案D4．已知函数g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a0且b0，则ab的最大值为()A.12B.14C．2D．4答案B解析∵2a2b＝2a＋b＝2，∴a＋b＝1，ab≤(a＋b2)2＝14，故选B.5．下列函数中，最小值为4的是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0xπ)C．y＝4ex＋e－xD．y＝log3x＋logx3(0x1)答案C解析注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，①x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；②若sinx＝4sinx取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．④没有最小值．故选C.6．下列命题中正确的是()A．函数y＝x＋1x的最小值为2B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2C．函数y＝2－3x－4x(x0)的最小值为2－43D．函数y＝2－3x－4x(x0)的最大值为2－43答案D解析y＝x＋1x的定义域为{x|x≠0}，当x0时，有最小值2，当x0时，有最大值－2，故A项不正确；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，∵x2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B项不正确；∵x0时，3x＋4x≥2·3x·4x＝43，当且仅当3x＝4x，即x＝233时取“＝”，∴y＝2－(3x＋4x)有最大值2－43，故C项不正确，D项正确．7．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析令p：“a＝18”，q：“对任意的正数x,2x＋ax≥1”．若p成立，则a＝18，则2x＋ax＝2x＋18x≥22x·18x＝1，即q成立，p⇒q；若q成立，则2x2－x＋a≥0恒成立，解得a≥18，∴q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．8．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是()A.3B．2C.5D.102答案A解析方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A.方法二：m2＋n2＝3⇔(m3)2＋(n3)2＝1，∴2＝x2＋y2＋(m3)2＋(n3)2≥23(mx＋ny)．∴mx＋ny≤3.9．若x，y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋12x)2的最小值是()A．3B.72C．4D.92答案C解析原式＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2≥4.当且仅当x＝y＝12时取“＝”号．10．(2015·安徽池州二中月考)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5答案C解析依题意得1a＋4b＝12(1a＋4b)(a＋b)＝12×[5＋(ba＋4ab)]≥12×(5＋2ba×4ab)＝92，当且仅当a＋b＝2，ba＝4ab，a0，b0，即a＝23，b＝43时取等号，即1a＋4b的最小值是92.11．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为()A．3B．6C．9D．12答案A12．(1)当x1时，x＋4x－1的最小值为________；(2)当x≥4时，x＋4x－1的最小值为________．答案(1)5(2)163解析(1)∵x1，∴x－10.∴x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x－1＝4x－1.即x＝3时“＝”号成立)∴x＋4x－1的最小值为5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝x＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋4x－1＋1有最小值163.13．若a0，b0，a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为________．答案174解析ab≤(a＋b2)2＝14，当且仅当a＝b＝12时取等号．y＝x＋1x在x∈(0，14]上为减函数．∴ab＋1ab的最小值为14＋4＝174.14．(2013·四川文)已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.答案36解析f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(当且仅当4x＝ax，即a＝4x2时取等号)，则由题意知a＝4×32＝36.15．已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为________．答案18解析∵2xy≤(2x＋y2)2＝14，∴xy≤18.(当且仅当2x＝y即x＝14，y＝12时取“＝”号．)∴xy的最大值为18.16．设x0，y0，且1x＋2＋1y＋2＝13，则xy的最小值为________．答案16解析由12＋x＋12＋y＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2xy＋8，∴(xy)2－2xy－8≥0，解是xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.17．已知ab0，求a2＋16ba－b的最小值．答案16思路由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋64a2，求出最小值．解析∵ab0，∴a－b0.∴b(a－b)≤[b＋a－b2]2＝a24.∴a2＋16ba－b≥a2＋64a2≥2a2·64a2＝16.当a2＝64a2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．∴a2＋16ba－b的最小值为16.18．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．答案(1)1(2)2解析由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得x0，y0，3xy＝x＋y＋1.(1)∵x0，y0，∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1.∴3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0.∴(3xy＋1)(xy－1)≥0.∴xy≥1.∴xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x0，y0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·(x＋y2)2.∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.∴x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x＋y的最小值为2.1．(2013·重庆理)3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322答案B解析方法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知3－aa＋6≤3－a＋a＋62＝92，当且仅当a＝－32时等号成立．方法二：3－aa＋6＝－a＋322＋814≤92，当且仅当a＝－32时等号成立．2．已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2答案D解析∵x0，y0，且2x＋1y＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(2x＋1y)＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2ym2＋2m恒成立，只需(x＋2y)minm2＋2m恒成立，即8m2＋2m，解得－4m2.3．函数y＝x2＋2x＋2x＋1(x－1)的图像最低点的坐标是()A．(1,2)B．(1，－2)C．(1,1)D．(0,2)答案D解析y＝x＋12＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1≥2.当且仅当x＝0时等号成立．4．设x＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则xy的取值范围为__________．答案[3＋22，＋∞)解析(x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1≤xy－2xy＋1，又(x－1)(y－1)≥2，即xy－2xy＋1≥2，∴xy≥2＋1，∴xy≥3＋22.5．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．答案233解析∵xy≤14(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－14(x＋y)2＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43.∴－233≤x＋y≤233，当x＝y＝33时，x＋y取得最大值233.6．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．答案2105解析∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝32×2xy＋1≤32×(2x＋y2)2＋1，∴(2x＋y)2≤85，∴(2x＋y)max＝2105.7.如图，在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．解析(1)连接OC.设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.则AB＝2900－x2，其中0x30.所以S＝2x900－x2＝2x2900－x2≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当x2＝900－x2，即x＝152时，S取最大值900cm2.答：取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2.(2)设圆柱底面的半径为r，高为x，体积为V.由AB＝2900－x2＝2πr，得r＝900－x2π.所以V＝πr2x＝1π(900x－x3)，其中0x30.由V′＝1π(900－3x2)＝0，得x＝103.因此V＝1π(900x－x3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x＝103时，V取最大值为60003πcm3.答：取BC为103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm3.