【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练46

题组层级快练(四十六)1．如图是2015年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是()答案A解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝()A．3B．－3C．6D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3.选B.3．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1]()A．nB．n＋1C．n－1D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”．②“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”类比推出“若a，b∈C，则a－b0⇒ab”．③“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”．其中类比得到的结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析提示：①③正确．5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199答案C解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.6．(2015·济宁模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝()A.18B.19C.164D.127答案D解析正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故体积之比为V1V2＝127.7．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比有x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝()A．nB．2nC．n2D．nn答案D解析第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33，归纳可以知道a＝nn.8．已知an＝(13)n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9……记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝()A．(13)67B．(13)68C．(13)111D．(13)112答案D解析该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝(13)112.9．(2015·郑州质检)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体ABCD的体积为V，则r＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案C解析设四面体ABCD的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体ABCD的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积的和，则四面体ABCD的体积为V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝3VS1＋S2＋S3＋S4，故选C.10．(2015·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013＝()A．501B．502C．503D．504答案D解析由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn＝n＋12.所以a2013＝x1007＝504.11．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．∴它们的体积比为1∶8.12．设数列{an}是以d为公差的等差数列，数列{bn}是以q为公比的等比数列．将数列{an}的相关量或关系式输入“LHQ型类比器”左端的入口处，经过“LHQ型类比器”后从右端的出口处输出数列{bn}的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是________．答案Bn＝b1×(q)n－1解析注意类比的对应关系：＋→×，÷→开方，×→乘方，0→1，所以Bn＝b1×(q)n－1.13．已知数列{an}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0.(1)若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式________；(2)通过归纳，试写出等差数列{an}的前n＋1项a1，a2，…，an，an＋1之间的关系为________．答案(1)a1a－22a3＝1，a1a－32a33a－14＝1，a1a－42a63a－44a5＝1(2)C0na1－C1na2＋C2na3－…＋(－1)nCnnan＋1＝0解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．14．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.答案41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.15.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有________．答案S2＝S21＋S22＋S23解析建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几体中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质．所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S21＋S22＋S23.16．(2015·山东日照阶段训练)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.答案2πr4解析据归纳猜想可知(2πr4)′＝8πr3，所以四维测度W＝2πr4.17．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．答案F＋V－E＝2解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.18．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．答案(1)34(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34解析方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.方法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos60°－2α2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34·sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.1．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为(1,0)，第二行记为(2,1)，第三行记为(5,4)．(1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；(2)照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为________．答案(1)(14,13)(2)(3n－1＋12，3n－1－12)(n∈N*)解析(1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第4行的白圈个数为5×2＋4×1＝14，黑圈个数为5×1＋4×2＝13，所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14,13)．(2)第n行中的白圈和黑圈总数为3n－1个，设“坐标”为(an,3n－1－an)，则第n＋1行中的白圈和黑圈总数为3n个，设“坐标”为(an＋1,3n－an＋1)＝(an＋3n－1,2×3n－1－an)，即a1＝1，an＋1＝an＋3n－1⇒an＝3n－1＋12，从而得到第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为(3n－1＋12，3n－1－12)(n∈N*)．2．(2013·湖北理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三