【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练63

题组层级快练(六十三)1．已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)答案C解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆x25＋y2m＝1外部即可．从而m≥1.又因为椭圆x25＋y2m＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．2．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.63答案C解析PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Q(－c，b2a)，△PF2Q的周长为36.∴4a＝36，a＝9.由已知b2a＝5，即a2－c2a＝5.又a＝9，解得c＝6，解得ca＝23，即e＝23.3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x228＋y218＝1D.x218＋y29＝1答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②，得x1＋x2x1－x2a2＋y1＋y2y1－y2b2＝0，即b2a2＝－y1＋y2y1－y2x1＋x2x1－x2，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2.而y1－y2x1－x2＝kAB＝0－－13－1＝12，∴b2a2＝12.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为x218＋y29＝1.故选D.4．(2015·安徽安庆六校联考)已知斜率为－12的直线l交椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于()A.12B.22C.34D.32答案D解析kAB＝－12，kOP＝12，由kAB·kOP＝－b2a2，得12×(－12)＝－b2a2.∴b2a2＝14.∴e＝ca＝1－b2a2＝32.5．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)在()A．圆x2＋y2＝2内B．圆x2＋y2＝2上C．圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能答案A解析由已知得e＝ca＝12，c＝a2，x1＋x2＝－ba，x1x2＝－ca，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝b2a2＋2ca＝b2＋2caa2＝b2＋a2a22a2a2＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．6．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．52B.46＋2C．7＋2D．62答案D解析设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝2，点C到椭圆上的点Q(10cosα，sinα)的距离|CQ|＝10cosα2＋sinα－62＝46－9sin2α－12sinα＝50－9sinα＋232≤50＝52，当且仅当sinα＝－23时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝52＋2＝62，即P，Q两点间的最大距离是62，故选D.7.(2015·河南豫东、豫北十所名校阶段测试)如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，若直线AC与BD的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.34答案C解析设外层椭圆方程为x2ma2＋y2mb2＝1(ab0，m1)，则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由y＝k1x－ma，bx2＋ay2＝a2b2，消去y，得(b2＋a2k21)x2－2ma3k21x＋m2a4k21－a2b2＝0.因为Δ＝(2ma3k21)2－4(b2＋a2k21)(m2a4k21－a2b2)＝0，整理，得k21＝b2a2·1m2－1.由y＝k2x＋mb，bx2＋ay2＝a2b2，消去y，得(b2＋a2k22)x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2k22)(a2m2b2－a2b2)＝0，整理，得k22＝b2a2·(m2－1)．所以k21·k22＝b4a4.因为k1k2＝－14，所以b2a2＝14，e2＝c2a2＝a2－b2a2＝34，所以e＝32，故选C.8．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，若原点O与线段MN的中点P连线的斜率为22，则mn的值是________．答案22解析由y＝1－x，mx2＋ny2＝1消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.则MN的中点P的坐标为(nm＋n，mm＋n)．∴kOP＝mn＝22.9．已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．答案y24＋x2＝1解析∵椭圆y2a2＋x2b2＝1的右顶点为A(1,0)，∴b＝1，焦点坐标为(0，c)，∵过焦点且垂直于长轴的弦长为1，即1＝2|x|＝2b1－c2a2＝2b2a＝2a，a＝2.则椭圆方程为y24＋x2＝1.10.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为________．答案22解析如图，因为四边形PAOB为正方形，且PA，PB为圆O的切线，所以△OAP是等腰直角三角形，故a＝2b.所以e＝ca＝22.11．(2013·福建)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析由直线y＝3(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝3c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(3＋1)c＝2a.即e＝23＋1＝3－1.12．设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→取值范围．答案[－2,1]解析易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为x∈[－2,2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.所以PF1→·PF2→的取值范围为[－2,1]．13．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点A(2,0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求实数k的值．答案(1)x24＋y22＝1(2)k＝±1解析(1)∵a＝2，e＝ca＝22，∴c＝2，b＝2.椭圆C：x24＋y22＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由y＝kx－1，x24＋y22＝1，消y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.∵直线y＝k(x－1)恒过椭圆内一点(1,0)，∴Δ0恒成立．由根与系数的关系，得x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2.S△AMN＝12×1×|y1－y2|＝12×|kx1－kx2|＝|k|2x1＋x22－4x1x2＝|k|216＋24k21＋2k2＝103.即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.14．(2015·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋22y＝0的圆心C.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．答案(1)x28＋y24＝1(2)2x－5y＋22＝0或2x＋y＋22＝0解析(1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋2)2＝6，圆心C(2，－2)，半径r＝6.设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则4a2＋2b2＝1，1－ba2＝222，所以a2＝8，b2＝4.所以所求的椭圆方程是x28＋y24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，|F2C|＝2－22＋0＋22＝2r6.F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线．设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，点C(2，－2)到直线l的距离为d＝|2k＋2＋2k|1＋k2，由d＝6，得|2k＋2＋2k|1＋k2＝6.化简，得5k2＋42k－2＝0，解得k＝25或k＝－2.故l的方程为2x－5y＋22＝0或2x＋y＋22＝0.15．(2014·北京文)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．答案(1)e＝22(2)22解析(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋24－x20x20＋4＝x202＋8x20＋4(0x20≤4)．因为x202＋8x20≥4(0x20≤4)，且当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．答案(1)x22＋y2＝1(2)y＝22x＋2或y＝－22x－2解析(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，∴c＝1.又点P(0,1)在曲线C1上，∴0a2＋1b2＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理，得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1.②综合①②，解得k＝22，m＝2.或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.