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题组层级快练(六十四)1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线答案C解析∵|PM|－|PN|＝34，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM||PN|，故点P的轨迹为双曲线的右支．2．与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1答案B解析椭圆x24＋y2＝1的焦点为(±3，0)．因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A，C.又双曲线x22－y2＝1经过点(2,1)，所以选B.3．(2015·济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是()A.3＋1B.3－1C.3D.2答案A解析令正六边形的边长为m，则有|AD|＝2m，|AB|＝m，|BD|＝3m，该双曲线的离心率等于|AD|||AB|－|BD||＝2m3m－m＝3＋1.4．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为()A.52B.32C.355D.23答案B解析双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为xa±yb＝0，焦点A(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为bca2＋b2＝53c，则c2－a2＝59c2，得e2＝94，e＝32，故选B.5．已知双曲线的两个焦点F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x29－y27＝1D.x27－y23＝1答案A解析∵MF1→·MF2→＝0，∴MF1→⊥MF2→.∴|MF1→|2＋|MF2→|2＝40.∵||MF1→|－|MF2→||＝2a，∴|MF1→|·|MF2→|＝20－2a2＝2，∴a2＝9，b2＝1.∴所求双曲线的方程为x29－y2＝1.6．已知双曲线mx2－ny2＝1(m0，n0)的离心率为2，则椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为()A.12B.63C.33D.233答案B解析由已知双曲线的离心率为2，得1m＋1n1m＝2.解得m＝3n.又m0，n0，∴mn，即1n1m.故由椭圆mx2＋ny2＝1，得y21n＋x21m＝1.∴所求椭圆的离心率为e＝1n－1m1n＝1n－13n1n＝63.7．(2014·山东理)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0答案A解析椭圆C1的离心率为a2－b2a，双曲线C2的离心率为a2＋b2a，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，所以a4－b4＝34a4，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.8．设F1，F2是双曲线x23－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1→·PF2→的值为()A．2B．3C．4D．6答案B解析设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝23＋1＝4，S△PF1F2＝12|F1F2||y0|＝2|y0|＝2，∴|y0|＝1.又∵x203－y20＝1，∴x20＝3(y20＋1)＝6.∴PF1→·PF2→＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x20＋y20－4＝3.9．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)答案D解析依题意，0∠AF2F1π4，故0tan∠AF2F11，则b2a2c＝c2－a22ac1，即e－1e2，e2－2e－10，(e－1)22，所以1e1＋2，故选D.10．抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.3.B.38C.233D.433答案D解析设M(x0，12px20)，y′＝(12px2)′＝xp，故在M点处的切线的斜率为x0p＝33，故M(33p，16p)．由题意又可知抛物线的焦点为(0，p2)，双曲线右焦点为(2,0)，且(33p，16p)，(0，p2)，(2,0)三点共线，可求得p＝433，故选D.11．双曲线x24－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析双曲线x24－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为y＝±12x，即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离d＝|±2|1＋4＝25＝255.12．已知双曲线x29－y2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．答案2x±3y＝0解析∵右焦点坐标是(13，0)，∴9＋a＝13，即a＝4.∴双曲线方程为x29－y24＝1.∴渐近线方程为x3±y2＝0，即2x±3y＝0.13．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为________．答案－2解析由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1→＝(－1－x，－y)，PF2→＝(2－x，－y)，PA1→·PF2→＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图像的对称轴为x＝18，∴当x＝1时，PA1→·PF2→取得最小值－2.14．P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为________．答案a解析如图所示，内切圆与三条边的切点分别为A，B，C，由切线性质，得|F1C|＝|F1A|，|PC|＝|PB|，|F2A|＝|F2B|.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，即(|PC|＋|CF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝2a.∴|CF1|－|BF2|＝2a即|F1A|－|F2A|＝2a.∵|F1A|＋|F2A|＝2c，∴|F1A|＝a＋c.∴A(a,0)．15．(2015·兰州高三诊断)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e，则a2＋eb的最小值为________．答案263解析由题意，可得k＝ba＝tanπ3＝3.∴b＝3a，则a2＝b23，∴e＝1＋b2a2＝2.∴a2＋eb＝b23＋2b＝b3＋2b≥2b3×2b＝263.当且仅当b2＝6，a2＝2时取“＝”．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0；(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．答案(1)x2－y2＝6(2)略(3)6解析(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)．∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23.∴kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.方法二：∵MF1→＝(－3－23，－m)，MF2→＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2.∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0.∴MF1→·MF2→＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，△F1MF2的边F1F2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．答案3x22－y22＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，∴F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosπ3＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝23，∴12|PF1|·|PF2|·sinπ3＝23.∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝ca＝2，∴a2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y22＝1.1．设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.5B.152C.102D.52答案C解析由双曲线的定义：|AF1|－|AF2|＝2a和|AF1|＝3|AF2|，得|AF1|＝3a，|AF2|＝a.在△AF1F2中，由勾股定理4c2＝(3a)2＋a2解出答案．2．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x答案C解析∵e＝ca＝52，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝54.∴a2＝4b2，ba＝±12.∴渐近线方程为y＝±12x.3．(2013·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()A．1B.32C．2D．3答案C解析设A点坐标为(x0，y0)，则由题意，得S△AOB＝|x0|·|y0|＝3.抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，所以x0＝－p2，代入双曲线的渐近线的方程y＝±bax，得|y0|＝bp2a.由ca＝2，a2＋b2＝c2，得b＝3a，所以|y0|＝32p.所以S△AOB＝34p2＝3，解得p＝2或p＝－2(舍去)．4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．答案x236－y264＝1或y264－x236＝1解析方法一：①当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ba＝43，a2＋b2＝100，解得a＝6，b＝8.∴双曲线的方程为x236－y264＝1.②当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，因渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ab＝43，a2＋b2＝100，解得a＝8，b＝6.∴双曲线的方程为y264－x236＝1.综上，双曲线的方程为x236－y264＝1或y264－x236＝1.方法二：设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ(λ≠0)，从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576.∴双曲线的方程为x236－y264＝1或y264－x236＝1.