【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练78

题组层级快练(七十八)1．(2015·重庆一中期中)在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为()A.25B.14C.35D.45答案D解析由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为45.2．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.14B.13C.427D.415答案A解析面积为36cm2时，边长AM＝6cm；面积为81cm2时，边长AM＝9cm.∴P＝9－612＝312＝14.3．若在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23答案C解析如图，在AB边上取点P′，使AP′AB＝34，则P只能在AP′上(为包括P′点)运动，则所求概率为AP′AB＝34.4．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.4π81B.81－4π81C.127D.827答案C解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝1333＝127.5．(2014·湖北理)由不等式组x≤0，y≥0，y－x－2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x＋y≤1，x＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.78答案D解析由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P＝742＝78，选D.6．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件f2≤12，f－2≤4为事件A，则事件A发生的概率为()A.14B.58C.12D.38答案C解析由题意知，事件A所对应的线性约束条件为0≤b≤4，0≤c≤4，4＋2b＋c≤12，4－2b＋c≤4，其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以事件A的概率P(A)＝S△OADS正方形OABC＝12，选C.7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6答案B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3＝12×4π3×13＝2π3，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为2π38＝π12，故点P到点O的距离大于1的概率为1－π12.8．若在区域x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，y≥0内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为()A.π2B.π8C.π6D.π4答案D解析区域为△ABC内部(含边界)，则概率为P＝S半圆S△ABC＝π212×22×2＝π4，故选D.9．(2013·四川理)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78答案C解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图可知，符合要求的S′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P＝S′S＝1216＝34.10．已知实数a满足－3a4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则()A．P1P2B．P1＝P2C．P1P2D．P1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.故P1＝－2－－34－－3＋4－24－－3＝37.若f(x)的定义域为R，则Δ2＝a2－40，得－2a2.故P2＝47.∴P1P2.11.(2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案0.18解析几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正＝1801000＝0.18.∵S正＝1，∴S阴＝0.18.12．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．答案23解析圆周上使弧AM的长度为1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧M1M2的长度为2，B点落在优弧M1M2上就能使劣弧AB的长度小于1，所以劣弧AB的长度小于1的概率为23.13．若在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是________．答案π40解析将取出的两个数分别用x，y表示，则0≤x≤10,0≤y≤10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0,10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.14．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．答案3解析设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝2＋4h2h＋22h＋1＝14，解得h＝3，故长方体的体积为1×1×3＝3.15.(2015·茂名一模)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在25附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为________．答案32解析由几何概型的概率计算公式，得粒子落在△ABD与△CBD中的概率之比等于△ABD与△CBD的面积之比，而△ABD与△CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为3525＝32，故填32.16．(2015·广东深圳)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：x＋2y－3≤0，x≥0，y≥0所表示的平面区域内的概率．答案(1)16(2)316解析(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝212＝16.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x，y)|x＋2y－3≤0，x≥0，y≥0}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D(0，32)，∴三角形OAD的面积为S1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P＝S1S＝9412＝316.17．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．答案(1)2536(2)221288解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x24,0≤y24且y－x4或y－x－4.作出区域0≤x24，0≤y24，y－x4或y－x－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y2或y－x4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域0≤x24，0≤y24，y－x4或x－y2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.1．(2015·湖南澧县三校)假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机．若这两条短信进入手机的间隔时间不大于t(0tT)，则手机受到干扰．手机受到干扰的概率是()A．(tT)2B．(1－tT)2C．1－(tT)2D．1－(1－tT)2答案D解析分别设两个互相独立的信号为X，Y，则所有事件集可表示为0≤x≤T,0≤y≤T.由题目得，如果手机受到干扰的事件发生，必有|x－y|≤t.这时x，y满足0≤x≤T，0≤y≤T，|x－y|≤t，约束条件0≤x≤T，0≤y≤T，|x－y|≤t，的可行域为如图阴影部分．而所有事件的集合即为正方形面积，阴影区域面积为T2－2×12(T－t)2＝T2－(T－t)2所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率，即1－(1－tT)2，故选D.2．(2013·陕西理)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4答案A解析依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P＝2－π22＝1－π4.3.(2014·辽宁文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8答案B解析由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝半圆的面积长方形的面积＝12π2＝π4，故选B.