【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练70

题组层级快练(七十)1．已知椭圆x2＋y22＝a2(a0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是()A．0a322B．0a322或a822C．a322或a822D.322a822答案B解析椭圆恰好经过A与椭圆恰好经过B是临界，将A，B两点代入解，a＝322，a＝822，由数形结合知，B正确．2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－12，12]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]答案C解析设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理，得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.综上－1≤k≤1.3．设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12答案C解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8,12.4．已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A.2613B.22613C.21313D.41313答案B解析由题意可知，c＝2，由e＝ca＝2a.可知e最大时需a最小．由椭圆的定义|PA|＋|PB|＝2a，即使得|PA|＋|PB|最小，设A(－2,0)关于直线y＝x＋3的对称点D(x，y)，由y－0x＋2·1＝－1，0＋y2＝－2＋x2＋3，可知D(－3,1)．所以|PA|＋|PB|＝|PD|＋|PB|≥|DB|＝12＋52＝26，即2a≥26.所以a≥262，则e＝ca≤2262＝22613.故选B.5．已知A，B，C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当△ABC的面积最大时，m等于()A．3B.94C.52D.32答案B解析A(1,1)，C(4,2)，直线AC方程为x－3y＋2＝0.设点B到直线AC的距离为d.∴S△ABC＝12|AC|·d＝12·10·|m－3m＋2|10＝12|m－3m＋2|.∵1m4，∴1m2，当且仅当m＝32时，S△ABC取最大值，∴m＝94，∴B正确．6．(2015·河南安阳第一次调研)抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝90°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN→||AB→|的最大值为()A.22B.32C．1D.3答案A解析设准线为l，过A作AQ⊥l，BP⊥l，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由勾股定理，得|AB|2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.又ab≤(a＋b2)2，所以(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－a＋b22，得到|AB|≥22(a＋b)，所以|MN→||AB→|≤12a＋b22a＋b＝22，即|MN→||AB→|的最大值为22，故选A.7．(2015·河南郑州质检)已知椭圆C1：x2m＋2－y2n＝1与双曲线C2：x2m＋y2n＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．答案22e11解析∵椭圆C1：x2m＋2－y2n＝1，∴a21＝m＋2，b21＝－n，c21＝m＋2＋n，e21＝m＋2＋nm＋2＝1＋nm＋2.∵双曲线C2：x2m＋y2n＝1，∴a22＝m，b22＝－n，c22＝m－n.由题意可得m＋2＋n＝m－n，则n＝－1.∴e21＝1－1m＋2.由m0，得m＋22.∴01m＋212，－1m＋2－12，∴1－1m＋212，即e2112.而0e11，∴22e11.8．已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，在抛物线AOB这段曲线上有一点P，则△APB的面积的最大值为________．答案274解析由弦长公式知|AB|＝35，只需点P到直线AB距离最大就可保证△APB的面积最大．设与l平行的直线y＝2x＋b与抛物线相切，解得b＝12.∴d＝9510，∴(S△APB)max＝12×35×9510＝274.9．已知椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O，F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．答案(1)(x＋12)2＋(y±2)2＝94(2)(－12，0)解析(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)．∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－12上．设M(－12，t)，则圆半径r＝|(－12)－(－2)|＝32.由|OM|＝r，得－122＋t2＝32，解得t＝±2.∴所求圆的方程为(x＋12)2＋(y±2)2＝94.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入x22＋y2＝1.整理，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，∴方程有两个不等实根．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－4k22k2＋1，x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2＋1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2＋1.∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－1k(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2＋1＋k22k2＋1＝－k22k2＋1＝－12＋14k2＋2.∵k≠0，∴－12xG0.∴点G横坐标的取值范围为(－12，0)．10．(2015·北京房山期末)已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为22，且抛物线y2＝42x的焦点是椭圆M的一个焦点．(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．答案(1)x24＋y22＝1(2)22解析(1)由题意，抛物线的焦点为(2，0)，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．则c＝2，由e＝22，得a＝2，所以b2＝2.所以椭圆M的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m，则由y＝kx＋m，x24＋y22＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－4)＝8(2＋4k2－m2)0.①设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，则x0＝x1＋x2＝－4km1＋2k2，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2m1＋2k2，由于点P在椭圆M上，所以x204＋y202＝1.从而4k2m21＋2k22＋2m21＋2k22＝1，化简，得2m2＝1＋2k2，经检验满足①式．又因为点O到直线l的距离为d＝|m|1＋k2＝12＋k21＋k2＝1－121＋k2≥1－12＝22.当且仅当k＝0时等号成立．当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(－2,0)或(2,0)，直线l的方程为x＝±1，所以点O到直线l的距离为1.所以点O到直线l的距离最小值为22.11．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋42.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．答案(1)x29＋y2＝1(2)38解析(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a＋2c＝6＋42.又椭圆的离心率为223，即ca＝223，所以c＝223a，所以a＝3，c＝22，故b2＝a2－c2＝1.椭圆M的方程为x29＋y2＝1.(2)方法一：不妨设直线BC的方程为y＝n(x－3)，(n0)，则直线AC的方程为y＝－1n(x－3)．由y＝nx－3，x29＋y2＝1，得(19＋n2)x2－6n2x＋9n2－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3x2＝81n2－99n2＋1，所以x2＝27n2－39n2＋1.同理可得x1＝27－3n29＋n2.所以|BC|＝1＋n269n2＋1，|AC|＝1＋n2n6n29＋n2，S△ABC＝12|BC||AC|＝2n＋1nn＋1n2＋649.设t＝n＋1n≥2，则S＝2tt2＋649＝2t＋649t≤38，当且仅当t＝83时取等号．所以△ABC面积的最大值为38.方法二：不妨设直线AB的方程x＝ky＋m(m≠3)．由x＝ky＋m，x29＋y2＝1，消去x，得(k2＋9)y2＋2kmy＋m2－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝－2kmk2＋9，y1y2＝m2－9k2＋9.①因为以AB为直径的圆过点C(3,0)，所以CA→·CB→＝0.由CA→＝(x1－3，y1)，CB→＝(x2－3，y2)，得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式，得(k2＋1)y1y2＋k(m－3)(y1＋y2)＋(m－3)2＝0.将①代入上式，解得m＝125或m＝3(舍)．所以m＝125(此时直线AB经过定点D(125，0)，与椭圆有两个交点)，所以S△ABC＝12|DC||y1－y2|＝12×35y1＋y22－4y1y2＝9525k2＋9－14425k2＋92.设t＝1k2＋9，0t≤19，则S△ABC＝95－14425·t2＋t.所以当t＝25288∈(0，19]时，S△ABC取得最大值38.12．(2015·沧州七校联考)已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B，满足OA→·OB→6(其中O为原点)，求实数k的取值范围．答案(1)x23－y2＝1(2)k∈(－1，－19515)∪(－33，－12)∪(12，33)∪(19515，1)解析(1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，则c2＝4，且a2＝4－1＝3，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为x23－y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋82kx＋4＝0.由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点，得Δ1＝(82)2k2－16(1＋4k2)＝16(4k2－1)0，即k214.①将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B，得1－3k2≠0，Δ2＝－62k2＋361－3k2＝361－k20.即k2≠13，且0k21.②设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xA·xB＝－91－3k2.由OA→·OB→6，得xAxB＋yAyB6.而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·－91－3k2＋2k·62k1－3k2＋2＝3k2＋