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Page1of10©XuezhiEducationAllRightsReserved学智教育教师备课手册教师姓名徐利萍学生姓名金凯泽填写时间2013-11-28学科数学年级七年级上课时间10:00-12:00课时计划2教学目标教学内容一元一次方程应用个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程【教学内容】一元一次方程内容介绍：方程是初中代数的重要内容，许多实际问题都可以通过列方程、解方程来解决。因此我们要认认真真地学好方程的有关知识。本章先介绍等式的概念和等式的两条性质，复习方程的解，解方程等概念；然后学习运用等式的性质和移项法则解一元一次方程，归纳出解一元一次方程的一般步骤；最后是列方程解应用题。一元一次方程是学习其他方程和方程组的基础。一、等式和方程本部分知识的重点是等式的性质和运用这两性质对等式进行变形；方程的有关概念及会检验一个数是不是方程的解。（一）知识要点：1．等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。如：+=，x+y=y+x,V=a3，3x+5=9都叫等式。而象a+b,m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。如：x-5=4，两边都加5得x-5+5=4+5，即x=9仍是等式；在这个等式两边都乘以得，××x=9×，即x=，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。Page2of10©XuezhiEducationAllRightsReserved3．方程的有关概念：（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知数；又如3x-2y=5其中x,y是未知数。（2）未知数：在研究方程之前未知的数叫未知数。如5x-4=8中，x是未知数，而5，-4，8是已知数。（3）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。例如方程2x+5=7，当x=1时，方程左边=2×1+5=7=右边，所以x=1是方程2x+5=7的解，或说x=1是方程的根。（4）解方程：求得方程的解的过程。4．会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。如，检验x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。当x=5时，左边=6×5-5=30-5=25，右边=2×5+11=10+11=21，∴左边≠右边，∴x=5不是原方程的解；当x=4时，左边=4×6-5=24-5=19，右边=2×4+11=8+11=19，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解。5．会根据已知条件列出方程。如：根据下列条件列出方程（1）某数比它的4倍小8。（2）代数式与x+1互为相反数。解：（1）设某数为x，则所求方程为x=4x-8，或x+8=4x或4x-x=8。（2）+x+1=0或=-x-1。6．同解方程：（1）同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。如，2x+3=5的解是x=1，3x+15=x+17的解也是x=1，所以这两个方程是同解方程。（2）方程同解原理同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。我们解方程的过程是同解过程，教材上所说的运用等式性质解方程，实质上是依据方程的同解原理解方程。（二）例题：例1．判断下列各式是不是方程，并说明理由：(1)3+5=4+4(2)2a+3b(3)x+2y=5Page3of10©XuezhiEducationAllRightsReserved(4)3+(-2)=8-|7|(5)x+6=3x-5答：（1）不是方程。因为它是不含未知数的等式；（2）不是方程。因为它不是等式，它是一个代数式；（3）x+2y=5是方程，它是含有未知数x,y的等式。（4）不是方程。因为它是不含未知数的等式。（5）x+6=3x-5是方程，它是含有未知数x的等式。注意：方程的概念有两点①是等式，②含有未知数，二者缺一不可。例2．检验x=是不是下列方程的解：（1）5x+2=2(2)3x+5=6(3)6x+=4解：（1）当x=时，左边=5×+2=+2=5≠右边，∴x=不是原方程的解。（2）当x=时，左边=3×+5=2+5=7≠右边，∴x=不是原方程的解。（3）当x=时，左边=6×+=4+=4=右边，∴x=是原方程的解。检验某数是否是方程的解可以用来验证我们解方程的过程是否正确。例3．根据下列条件列出方程（1）某数的8倍减去5等于它的4倍加上3；（2）某数比它的大7；（3）某数与3的和的平方比它的平方大4；（4）某数与5的差的3倍等于33；（5）某数与-7的和的与某数加上的和互为相反数；（6）某数的平方比它自身的2倍多8。解：设某数为x，则根据条件列出方程为：Page4of10©XuezhiEducationAllRightsReserved(1)8x-5=4x+3(2)x-x=7或x=x+7(3)(x+3)2-x2=4(4)3(x-5)=33(5)(x-7)+(x+)=0(6)x2=2x+8例4．说出下列变形的依据：(1)2x-5=3，2x=8(2)3x=27，x=9(3)-3x=，x=-(4)-x=4，x=-12(5)=2，x+3=10(6)=x+6，x-2=3x+18解：（1）根据等式的基本性质1，2x-5+5=3+5，得2x=8（2）根据等式的基本性质2，3x×=27×，得x=9（3）根据等式的基本性质2，-3x×(-)=×(-)，得x=-（4）根据等式的基本性质2，-x×(-3)=4×(-3)，得x=-12（5）根据等式的基本性质2，5×()=2×5，得x+3=10（6）根据等式的基本性质2，3×()=3×(x+6)，得x-2=3x+18注意：①使用方程同解原理时注意方程两边同时进行相同的变化，不要只顾一边，忘记另一边。②当方程某一边是多项式时，要注意使用分配律，避免出现这样的错误：如(6)小题=x+6两边同时乘以3得x-2=3x+6。例5．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a|求出来，再进一步确定a的值。解：∵x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，∴2×(-4)+3|a|=-4-1，∴-8+3|a|=-5，由等式的基本性质1得：-8+8+3|a|=-5+8，即3|a|=3，由等式的基本性质2得：|a|=1，Page5of10©XuezhiEducationAllRightsReserved∴a=±1。一元一次方程的应用列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。一、列方程解应用题的主要步骤：1、认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2、用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3、利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4、求出所列方程的解；5、检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。二、对常见应用题的解法分析1、和、差、倍、分问题；这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。例1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？分析：相等关系是：今年捐款=去年捐款×2+1000。解：设去年为灾区捐款x元，由题意得，2x+1000=250002x=24000∴x=12000答：去年该单位为灾区捐款12000元。例2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？分析：等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油。解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得，x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%去分母整理得，9x+20=5x+6x∴2x=20∴x=10Page6of10©XuezhiEducationAllRightsReserved答：油箱里原有汽油10公斤。2、等积变形问题：“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。例3、现有直径为0.8米的圆柱形钢坯长30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？分析：等量关系为：机轴的体积和=钢坯的体积。解：设可足够锻造x根机轴，由题意得，π()2×3x=π()2×30解这个方程得x=x=×10×==40答：可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根。3、劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有（1）既有调入又有调出。（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。例4、有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？分析：此问题中对乙队来说有调出，对甲队来说有调入。等量关系为：乙队调出后人数=甲队调入后人数。解：设应从乙队调x人到甲队，由题意得，183-x=(285+x)解这个方程，285+x=549-3x4x=264∴x=66答：应从乙队调66人到甲队。例5、甲、乙两个工程队分别有188人和138人，现需要从两队抽出116人组成第三个队，并使甲、乙两队剩余人数之比为2：1，问应从甲、乙两队各抽出多少人？分析：此问题中只有调出，没有调入。等量关系为：甲队调出后人数=2×乙队调出后Page7of10©XuezhiEducationAllRightsReserved人数。解：设应从甲队抽出x人，则应从乙队抽出(116-x)人，由题意得，188-x=2[138-(116-x)]解这个方程188-x=2(138-116+x)188-x=44+2x3x=144∴x=48116-x=116-48=68答：应从甲队抽出48人，从乙队抽出68人。例6、李明今年8岁，父亲是32岁，问几年以后父亲的年龄为李明的3倍。分析：此问题中只有调入，没有调出。等量关系为：几年后父亲年龄=3×李明几年后的年龄。解：设x年后父亲的年龄为李明的3倍，由题意得，32+x=3(8+x)解这个方程：32+x=24+3x2x=8∴x=4答：4年后父亲的年龄为李明的3倍。4、比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为x,利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和=总量。例7、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？分析：应设一份为x件，则其他量均可用含x的代数式表示。等量关系为：（甲日产量+丙日产量）-12=乙日产量的2倍。解：设一份为x件，则甲每天生产4x件，乙每天生产3x件，丙每天生产×3x件（即x件），由题意得，4x+x-12=2×3x解这个方程，=12∴x=24∴4x=4×24=96（件），3x=3×24=72（件），x=×24=60（件）答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件。5、数字问题：要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为cPage8of10©XuezhiEducationAllRightsReserved（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9）则这个三位