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一、提出问题：甲、乙两个班，原来甲班比乙班多20人．现在学校从甲班抽调14人去乙班，则甲班人数正好是乙班人数的7/8，求甲、乙两个班的现有人数．算术解法：甲班原比乙班多20人，乙班现比甲班多14×2-20（人），相当于乙班现有人数的.因此，乙班现有人数为，甲班现有人数为)871()(64)871()20214(人).(568764人代数解法：设甲班现有x人，则乙班现有x+14×2-20=x+8（人），因此，即甲班现有56人，乙班现有64人.).(56,)8(87人xxx对比两种解法可以看出：算术解法是把未知量置于特殊地位，设法用已知量组成的混合运算式表示出来(在条件较复杂时，列出这样的式子往往比较困难)；代数解法是把未知量与已知量同等对待(使未知量在分析问题的过程中也能发挥作用)，找出各量之间的等量关系，建立方程．因此，代数解法的“直截了当”比算术解法的“拐弯抹角”要方便得多．但是，在由算术解法向代数解法转化的过程中，同学们原来的思维定势不同程度的成为接受新思想的障碍，算术解法的思想会时隐时现．要充分发挥代数解法的优越性，必须有意识地进行对比性训练解题，使同学们从思想上认识到学习代数解法的必要性，而自觉地运用．二、知识梳理：1、列方程解应用题:学习列方程解应用题是十分重要的，首先从学习内容上讲，中学数学的学习离不开方程，离不开利用列方程来解决应用问题，特别是我们已经明确了这样一种思想：学习数学重在应用．因此列方程解应用题中蕴含的思想方法对学习者而言是十分重要的．第二，通过列方程解应用题可以培养和提高分析问题和解决问题的能力．这对于一个人的发展也是十分重要的．列方程过程的实质有多种说法：如“通过分析，找出等量关系，而列出方程”，或“把题目中蕴含的相等关系找出来，列出方程”．这些说法都指明了列方程的方向——找出相等关系．一般步骤如下：(1)审题、弄清题意，分清哪些是已知量，哪些是未知量．(2)设未知数，选一个适当的未知量设为未知数x．(3)列方程．(4)解所列的方程．(5)根据题意，作出答案．具体可从以下三条途径出发研究解决：(1)图解分析：分析问题中的数量关系时，借助图形，可以使抽象的关系直观化、简单化，根据题意画图列式是对同学们的思维能力的有效培养．这里，应要求“图要达意”，避免图上发生错误而造成列式错误．(2)列表分析：列表法的优点是通过列表归类使对应量之间关系较为清晰，往往有利于运用比例分析法显示解题思路．(3)框图分析：框图分析是由文字语言、符号语言及长方格通过题中相等关系确立而成，容易操作，不拘一格。例1、某连队从驻地出发前往某地执行任务．行军速度是6千米/时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达给连队．小王骑自行车以14千米/时的速度沿同一路线追赶连队．问是否能在规定时间内完成任务．例2、汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时．已知此船在静水中速度为18千米/时，水流速度为2千米/时．求甲、乙两地间的距离．2、抓住“不变量”解应用题列方程解应用题的关键是寻找数量间的相等关系，这要从分析题中的基本量入手去寻找．一般说来，一个问题中有几种基本量就可以找出几种相等关系．但有些应用题中的相等关系不外露，如能抓住问题中的“不变量”即可得到相等关系，从而列出方程，甚至能找出多种解法，拓宽解题思路．例3、某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，则可超额10个．求规定加工的零件数和计划加工的天数．分析：本题每天加工的零件数是变量，实际做的工作总量也随着变化，但有两个不变量，即计划加工的时间不变，规定任务不变，这就是题目中的等量关系，故可得到两种解法．例4、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回要12小时，才能到达甲地，已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两地的距离．分析：本题中甲、乙两地间的距离与轮船本身的速度(静水速度)是“不变量”，分别抓住这两个“不变量”即得两种不同的等量关系．可从两个不同方面设出未知数．有关溶液的浓度应用题是初中代数中列方程解应用题的一类基本题．解这类应用题，关键的问题是：抓住不变量(如稀释前溶质重量等于稀释后溶质重量)列方程．（1）求溶质例5、现有浓度为20％的盐水300克和浓度为30％的盐水200克，需配制成浓度为60％的盐水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？解：设两种溶液全部混合后，还需加盐x克，注意混合前后溶质总量不变，依题意得方程：20％×300+30％×200+x=60％(300+200+x)．化简得2x=900．解这个方程得x=450．答：两种溶液全部混合后，还需加盐450克．（2）求溶剂例6、要把浓度为90％的酒精溶液500克，稀释成浓度为75％的酒精溶液，需加水多少克．解：设需加水x克，因为加水前后溶质数量不变，依题意得方程75％(x+500)=90％×500．化简得15x=1500．解这个方程得x=100．答：需加水100克．（3）求溶液例7、有若干克4％的盐水蒸发了一些水分后，变成10％的盐水，接着加进4％的盐水300克，混合后变为6.4％的盐水，问:最初有盐水多少克？解：设最初有盐水x克，注意混合后的含盐量，依题意得方程化简得1.44x=720．解这个方程得x=500．答：最初有盐水500克．).300%10%4%(4.6300%4%4xx（4）求浓度例8、甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液的1.5倍，甲种硫酸溶液5份与乙种硫酸溶液3份混合成的硫酸溶液含硫酸52.5％，求两种硫酸溶液含硫酸的百分数．解：设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为x，则甲种硫酸溶液含硫酸的百分数为1.5x，依题意得方程5×1.5x+3x=52.5％×8．化简得105x=42．解这个方程得x=0.4=40％，则1.5x=1.5×0.4=0.6=60％．答：甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60％，乙种硫酸溶液含硫酸的百分数是40％．从以上几例可以看出：抓住不变量关系是解决有关百分比浓度应用题中所涉及的各种量的关键．3、用整体思想解应用题数学崇尚简捷．初中不少数学应用题若能着眼于整体结构，往往能触及问题的本质，从而获得简捷明快的解法．把整体思想解题用于教学不但可以培养学生着眼于整体的意识，而且有利于培养学生思维的敏捷性．例9、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，在离B地6千米处相遇后又继续前进，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在离A地8千米处相遇，求A、B两地间的距离．分析：用常规方法解决本题具有一定难度，若把两个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解．解：如图，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6千米；第二次相遇，甲、乙两人合走了三个全程，故乙共走了18千米，设A、B两地间的距离为x千米，第二次相遇时乙走了(x+8)千米，所以x+8=18，x=10．答：A、B两地间距离为10千米．例10、甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经4小时相遇；若甲先出发3小时后乙再出发，则经2小时相遇，问甲、乙单独走完AB这段路程各需几小时？解：由两人同时出发经4小时相遇，知两人2小时走全程的一半；又由甲出发3小时后乙再出发，经2小时相遇，知甲3小时走完全程的一半．故甲走完全程需6小时．因甲走5小时，乙走2小时可走完全程，而甲6小时走完全程，故甲走1小时的路程乙需走2小时，故乙走完全程需12小时．答：单独走完全程，甲需6小时，乙需12小时．注意：用常规方法解题是必要的，但本题运用整体思想求解不但看透了本质，而且利于培养学生的逻辑思维能力．4、合理设元巧解一元一次方程应用题：列方程解应用题在初中代数中既是重点，又是难点．怎样列方程解应用题，除了找出题中的相等关系外，关键还在于如何设元．在列方程解应用题时，大多时候是将要求的量设为未知元(设直接元)．而有时设直接元时，不易找出题目中的相等关系，此时则应恰当选择题目中要求的未知量外有关的某个量为未知元(设间接元)，求出这些量后，再用这些量求出要求的量．还有些时候除了设直接元或间接元，还要设辅助列方程的量为未知元(设辅元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等关系列方程．（1）不同的设元有不同的方程应用题一般有多个未知量，因而有多种设元方法，从而有多种不同的方程．例11、从A地到B地，先下山然后走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达B地共用55分钟．回来时以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山，回到A地共用1.5小时，从A地到B地有多少千米？（2）直接设元与间接设元一般情况下采用直接设元，即问什么就设什么，但有时根据问题的性质，选设适当的间接未知量，就可能使数量之间的复杂关系变得比较简单，容易列出关于间接未知量的方程来．例12、从家里骑车到火车站，若每小时行30千米，则比火车开车时间早到15分；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分．现要求在火车开车前10分钟到达火车站，骑车的速度应是多少？例13、设有五个数，其中每四个数之和分别是15、22、23、24、32，求这五个数．分析：这个题目如果设直接元，就应设五个未知元，涉及几个未知数的问题，须列出几个方程，不易解出．因此，我们想到设间接元的方法，题中已知五个数中四个数之和，若设五个数总和为x，则这五个数分别是：x-15，x-22，x-23，x-24，x-32，它们的和等于x．解：(设间接元)设这五个数的和是x则(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x．解方程得x=29．这五个数分别为：29-15=14，29-22=7，29-23=6，29-24=5，29-32=-3．答：这五个数是14，7，6，5，-3．（3）加设辅助元有些应用题中，常隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解．因而常把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是加设辅助元．例14、一轮船从重庆到武汉需5昼夜，从武汉到重庆需7昼夜，试问一木排从重庆漂流到武汉需要多少时间？分析：该题若设直接元，即木排漂流所需时间，很难找到相等关系来列方程，但由题意知轮船从重庆到武汉为顺水航行，从武汉到重庆为逆水航行，轮船在静水中速度不变，木排漂流速度为水流速度，引入辅助元：重庆到武汉轮船行驶路程为s，水流速度为v，由轮船在静水中速度不变可列方程．说明：在列出一元一次方程解应用题时，因为方程中只有一个未知数，所以不管应用题中有几问，都只能设一个未知数，但有时只设出一个未知数，有关的等量关系很难表达，这样就需要在方程中引入一个辅助元，便于列出方程表达等量关系，这个辅助元在解的过程中，常常被约掉，实际上还是一个未知数．例15、某人上午8时乘装有竹杆的船逆流而上，10时半发现一捆竹杆掉入河中，他立即掉头顺流去追，用30分追上了竹杆．竹杆是何时掉入河中的？注：在以上求解中，我们是以河岸为参照物来设定船速V和水流速度v的．并且，我们发现船速和水速实际上对结果都无影响．可以说这里的参数V、v是设而不求，只起到一个中间过渡作用．例16、一组割草人要把两块到处长得一样密的草地里的草割完，大的一块比小的一块大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完，另一半人去割小草地的草，到晚上还剩下一小块，最后由一人再用一天的时间刚好割完．如果这组割草人每天割草速度是相等的，问他们共有多少人？（4）整体设元在某些应用题中，直接设元相当困难，就是间接设元，也会感到未知数太多，已知关系太少．如果在未知数的某一部分中存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知量，这样就减少了设元的个数，从而易列出方程(组)．这种设元方法称之为整体设元．例17、一个五位数的最高位上数字是5，若将这个5移至最右边的数位上，这所得的五位数比原数的2/3多7001，求原五位数。【注】此题中的原五位数后四位组成的数在题中没有变化，故可设其为x．若分别设个十百千上的数字，则有