一元二次方程根与系数的关系习题

一元二次方程根与系数的关系习题[准备知识回顾]：1、一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。2、一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42（1）当0时，方程有两个不相等的实数根。（2）当0时，方程有两个相等的实数根。（3）当0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则；方程没有实数根，则。[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和，那么21xx，21xx。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和，则21xx，21xx。3、以21xx和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212xxxxxx4、在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为0，则c；有一根为1，则cba；有一根为1，则cba；若两根互为倒数,则c；若两根互为相反数，则b。5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx和，那么))((212xxxxacbxax．如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解.[基础运用]例1：已知方程02)1(32xkx的一个根是1，则另一个根是，k。变式训练：1、已知1x是方程0232kxx的一个根，则另一根和k的值分别是多少？2、方程062kxx的两个根都是整数，则k的值是多少？例2：设21xx和是方程03422xx，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221xx（2）)1)(1(21xx（3）2111xx（4）221)(xx变式训练：1、已知关于x的方程01032kxx有实数根，求满足下列条件的k值：（1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于2。2、已知关于x的方程022aaxx。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）a取何值时，方程有两个正根。（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4）a取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程)0(02acbxax的两根之比为1：2，判别式的值为1，则ba与是多少？例4、已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m的值。例5、若方程042mxx与022mxx有一个根相同，求m的值。基础训练：1．关于x的方程0122xax中，如果0a，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2．设21,xx是方程03622xx的两根，则2221xx的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=25x（C）3x2－2x+2=0（D）3x2－26x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－5y－6=05．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那么x1·x2等于（）（A）2（B）－2（C）1（D）－16.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定7.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）38．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝9．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝.二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－x=5(2)9x2－62+2=0(3)x2－x+2=02、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；若两根之和为－35，则m=，这时方程的两个根为.4、已知3－2是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－5和1+5。7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2x1+x1x2（3）x12+x1x2+2x18、如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m=;9、方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根，则最小的整数m=;10、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m=;11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为;12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1)x12+x22(2)x1－x2（3）21xx（4）x1x22＋12x113、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值。14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－12(a2x2－a2－1)=0有无实根？15、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数K在什么范围取值时，方程0)1()1(22kxkkx有实数正根？训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t－4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)－7u=0,;2、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+3和2－3，则p=,q=;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn=。7、已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+1β和β+1α;9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值范围。训练（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=,αβ=;2、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为;3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为212，则k=;4、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;5、方程4x2－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是;6、若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;7、已知p0,q0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是;8、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)1x1－1x210．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。12．是否存在实数k，使关于x的方程06)74(922kxkx的两个实根21,xx，满足21xx＝32，如果存在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=。2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2=；x1·x2=；2111xx；x21+x22=；(x1+1)(x2+1)=；｜x1－x2｜=。3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。4、如果关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a的值为。5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1，则q∶p=。8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=。10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m=，(x1+x2)21xx=。11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1)14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且43x1x121，则m=。18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为。21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数(A、B均为有理数)，那么另一个根必是A－B。25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22xxx26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x128、已知