一元二次方程根的分布情况归纳总结(2013.07.22)

一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq综合结论（不讨论a）——————0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0fm或0fn，则此时0fmfn不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由300ff即141530mm得出15314m；②由0即2164260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m函数与方程思想：若y=()fx与x轴有交点0xf(0x)=0若y=f(x)与y=g(x)有交点(0x，0y)()fx=()gx有解0x。根的分布练习题例1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例2、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。例3、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ff4310m13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题例4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围1.若方程4(3)20xxmm有两个不相同的实根，求m的取值范围。2.已知函数421xxym有且只有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点3.关于x的一元二次方程0222aaxx，当a为何实数时：（1）不同两根在3,1之间（2）有一个根大于2，另一个根小于2（3）在3,1内有且只有一解4.已知a是实数，函数.322)(2axaxxf如果)(xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围