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一元一次方程的应用——其它类型一、分段与比较1.分段讨论分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题。解决这类问题的时候，我们先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决。例1（2005年东营市）某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数(千克)不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？分析：由于张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），那么第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克。由于50千克香蕉共付264元，其平均价格为5.28元，所以必然第一次购买香蕉的价格为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能5元，也可能4元。我们再分两种情况讨论即可。解：1)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉20千克以上但不超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：6x＋5（50－x）＝264解得：x＝1450－14＝36（千克）2）当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：6x＋4（50－x）＝264解得：x＝32（不符合题意）答：第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉例2（2005年湖北省荆门市）参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1100元，那么此人住院的医疗费是（）住院医疗费（元）报销率（%）不超过500元的部分0超过500～1000元的部分60超过1000～3000元的部分80……A、1000元B、1250元C、1500元D、2000元解：设此人住院费用为x元，根据题意得：500×60％＋(x－1000)80%＝1100解得：x＝2000所以本题答案D。2.方案比较类方案型一元一次方程解应用题往往给出两个方案计算同一个未知量，然后用等号将表示两个方案的代数式连结起来组成一个一元一次方程。例3（2005年泉州市）某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。（1）设原计划租用30座客车x辆，试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数；（2）现决定租用40座客车，则可比原计划租30座客车少一辆，且所租40座客车中有一辆没有坐满，只坐35人。请你求出该校初三年级学生的总人数。分析：本题表示初三年级总人数有两种方案，用30座客车的辆数表示总人数：30x+15，用40座客车的辆数表示总人数：40（x－2）+35。解：（1）该校初三年级学生的总人数为：30x+15（2）由题意得：30x+15＝40（x－2）+35解得：x＝630x＋15＝30×6＋15＝195（人）答：初三年级总共195人。例4某商场计划拨款90000元从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种机每台1500元，乙种机每台2100元，丙种机每台2500元.（1）请你研究一下商场的进货方案?（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元.若商场准备按投资、购买计划任意选购各种型号的电视机，为了销售时获利最多，请你设计最佳进货方案.二、设元技巧类1．直接设未知元根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．例5今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？例6某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则在当天上午手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是多少？解：设所求的准确时间为x小时，由题意得：115(4)102026xx，解之得：1116x，答：准确时间应该是11点10分．2．间接设元如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．例7一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1平方厘米.求这个长方形的面积.例8牧场上的草长得一样地密，一样地快．70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天．如果要吃96天，问牛数该是多少？解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，所以每头牛每天吃12416070243060xx去分母得:30(1+24x)=28(1+60x)∴960x=2∴x=1480，则每头牛每天吃124170241600x，96天吃完，牛应当是11(196)(96)204801600．3．设辅助元有时为了解题方便，可设某些量为辅助量，参与列方程和运算，最后把这些辅助量约去，得出要求的值．例9有两个圆柱形容器A、B，A容器内的底面积为B容器内的底面积的1.5倍，B容器内壁高100cm，最初A容器时盛满水，B容器则是空的，把A容器时的水倒入B容器直到倒满，A容器里剩余水的高度为原来的61，求A容器的内壁高度。（本题是《精编》175页第12题）（本题6分）例10我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8，1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．例11有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1v2v3v0，其中v为河流的水流速度．它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1)3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2)经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军．在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为．解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：Si=(vi-v)1+v1=vi1(i=1、2、3)第i号赛艇追上浮标的时间为：11iiiiivvvvvSt(小时)由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军．选做作业1．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，请确定总获利最多的生产方案，并求出最高获利是多少元？2.某车间有原料40千克，乙种原料36千克，利用这些原料生产A、B两种产品共5件，已知一件A产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；一件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元，设生产A种产品X件。（1）列式表示：生产B种产品的件数。两种产品共用甲种原料的千克数。两种产品共用乙种原料的千克数（2）请你设计：A、B两种产品的件数有哪几种方案（就是5件产品中，A、B各几件）？并简要理由。（3）用X的式子表示这批产品所获利润，你所设计的方案中，哪种方案利润最大？最大利润是多少？3.一件工程，甲工程队独做10天完成，每天需费用160元；乙工程队独做15天完成，每天需费用100元.（1）若由甲、乙两个工程队合做3天后,剩余工程由乙工程队单独完成,求工程所需的总费用是多少元?（2）由于场地限制,两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工做一部分工程再由乙工程队单独施工完成剩余工程,预计共付工程总费用1560元,你知道甲、乙两个工程队各做了工程的几分之几吗?（3）为了保证工程质量,工程指挥部决定安排一名质检员全程进行质量监督,每天需付给质检员的工作、生活补助30元，请你安排甲、乙两个工程队进行施工,使工程所需的总费用最少?4.据调查，某市居民生活用电价格为每天早晨7时到晚上23时每度0.47元，每天23时到第二天7时每度0.25元．请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案．5.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元／吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.8元／吨收费，超过20吨部分按0.50元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元．问：(1)甲、乙两户该月各用水多少吨？（自来水按整吨收费）(2)根据你家用水情况，设计出最佳用水方案．6.某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米o.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1．2元收费．怎样用气最节约？请设计出方案来．7.随着电信事业的发展，各式各样的电信业务不断推出，请你通过市场调查，为你家设计出一种通讯方案．（1)两地间打长途电话所付电费有如下规定：若通话在3分钟以内都付2.4元．超过3分钟以后，每分钟付1元．(2)某移动通讯公司升级了两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元，“快捷通”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．，根据上述资料,(1)你认为一个月通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？(2)某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯或用长途电话合算些？8.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，很多城市制定了用水收费标准，A市规定每户每月的标准用水量不超过标准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过标准用水量的部分按每立方米3元收费．该市张大爷家5月份用水9立方米，需交费16.2元．A市规定的每户每月标准用水量是多少立方米？9.2002年世界杯足球赛韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格是：一等席300美元，二等席200美元，三等席125元美元，某服装公司在促销活动中，组织获得特等奖、一等奖的36名顾客到韩国现看2002年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后，计划买两种门票，用完5025美元，你能设计出几种购票方案供该服装公司选择吗？说明理由10．将连续的奇数1，3，5，7，9……排成如图所示.（1）框中的五个数的和与中间的数23有什么关系？（2）图中能画出几个这样的十字框？（3）十字框中的五个数之和能等于2010吗？若能，请写出这五个数，若不能，说明理由.11.在各自的日历上任意圈出一个竖列上相邻的四个数，两人分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求同这4个数。2．在各自的日历上，用一个正方形任意圈出2×2个数，把它们的和告诉同伴，由同伴求出这4个数。12.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3．他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣．那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣，共需多少工时．解设缝纫师做一件衬衣的时间为x，则一条裤子的时间为2x，做一件上衣用时为3x．由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x+3×(2x)+4×(3x)=10(工时)．即20x=10(工时)，则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需：2×(3x)+10×(2x)+14x=40x=20(工时)13.某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减