一元微积分A前三章练习题4答案

113-14-4一．填空题(每小题3分，共18分)1．极限2lim(1)xxx=2e.2．设函数sin(1)xye，则dycos(1)xxeedx.3．设导数)(0xf存在，则000()()lim2hfxhfxh=01()2fx.4．已知函数0,sin0,)(xbxaxexfx在0x处可导，则a1，b1.5．曲线lnyxx上与直线22xy平行的切线方程是2xye.6．抛物线232yxx在其顶点处的曲率=2二、单项选择题(每小题3分，共18分)1.设()tan3fxxx，()cos1gxx，则当0x时，下列表达式正确的是（D）.（A）()(())fxogx；（B）()(())gxofx；（C）()()fxgx；（D）()fx与()gx同阶但不等价．2．函数2))2ln((cosxy的复合关系是（B）．（A）xvvuuy2,lncos,2；（B）xwwvvuuy2,ln,cos,2；（C）xvvuuy2,ln,cos2；（D）)2ln(,,cos2xvvuuy.3．点2x是229()6xfxxx的（D）.（A）连续点；（B）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）无穷间断点．4．设函数)(xf在区间I内二阶可导，Ix0且00'()()10fxfx，则点0x（C）(A)不是)(xf的极值点(B)是)(xf的极小值点(C)是)(xf的极大值点(D)不是)(xf的驻点。5.32(13),(,)().yaxbxabB设曲线以点，为拐点则数组2(A)．);23,29((B)．);29,23((C)．);29,23((D)．)23,29(．6．设221arctan0()0xxfxxax，在0x处连续，则a（A）(A).0(B).(C).1(D).2三、计算题（第1、2每小题5分，第3--7每小题6分，共40分）1．求极限201limxxexx.解：原式=0lim(1)xxxx………………（2分）01lim11xx………………（5分）2.已知函数设,lnarctanxxxxy求dxdy.解：221lntan1dyxxarcxdxxx………………（5分）3．设xyeyln确定y是x的函数，求dy.解：方程两边关于x求导1lnyeyyxyx……………………（3分）解出lnyyyxexx………………（5分）所以lnyydydxxexx………………（6分）4.设()ln(21)fxx，求)(xf的20阶导数)()20(xf．解：2()21fxx…………（2分）3222()(21)fxx…………（4分）20(20)202()(21)fxx………………（6分）5.设arctan)1ln(2tytx确定了函数()yyx,求dxdy，22dydx.解：22111221dydydttdxtdxtdtt………………（3分）222232112241dyddytdxttdxdxtt…………（6分）6.确定函数22)1(2xxy的单调区间，极值点.解：定义域(,1)(1,)………………（1分）34(1)xyx……………………（3分）x(,0)0(0,1)1(1,)'y-0+不存在-y极小值0单调增区间：[0,1)，单调减区间：(,0)，(1,)，极小值点（0，0）.……（6分）7.求极限222lim(1)(2)()nnnnnnnn.解：因为22222()(1)(2)()(1)nnnnnnnnnnnnnn………………（2分）又22limlim0(1)()nnnnnnnnn，………………（4分）4由夹逼准则，原极限=0……………………（6分）四、应用题（第1小题10分,第2小题6分，共16分）1．由直线0y，6x及曲线3xy围成一个曲边三角形，在曲边3xy上求一点P，使得曲线在点P处的切线与直线0y及6x所围三角形的面积最大.解：设所求点P的为300(,)xx，则斜率020|3xkyx………………（2分）切线方程为：320003()yxxxx………………（3分）令6x，得2300182yxx，令0y，得023x………………（5分）三角形面积23234000000122(182)(6)5412233Sxxxxxx………………（6分）对三角形面积关于0x求导并令其等于0，2300081083603Sxxx得092x，或09x（舍去）……………………（9分）由于在（0，6）区间上只有一个驻点，故点P9729(,)28处的切线与直线0y及6x所围三角形的面积最大。……………………（10分）2．水管壁的正截面是一个圆环，设它的内半径是0R，壁厚为h，利用微分来计算这个圆环面积的近似值.解：圆面积公式为2AR,…………………………（3分）则022RdRRAdAh……………………（6分）5五、证明题（8分）1.设函数)(xf在闭区间]2,0[上连续，在开区间)2,0(内可导，且0)2()0(ff，21f．试证：至少存在一点)2,0(，使得1)('f证明：令()()Fxfxx………………（1分）则()Fx在[0,2]上连续，在开区间)2,0(内可导，…………（2分）又(1)(1)110,(2)(2)220FfFf…………（3分）由零点存在定理，存在一个(1,2)，使得()0F…………（5分）又(0)(0)00Ff，………………………………（6分）再由罗尔中值定理，至少存在一点(0,)(0,2)，使得()0F，即1)('f.…………………………（8分）