一堂“推理与证明”的探究课周春鹏04

1一堂“推理与证明”的探究课广东省紫金中学周春鹏新课程标准提出：学生的数学学习应倡导自主探索，动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，发挥出学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，教师应充分做好课堂活动引导者的角色，引导学生进行“提出问题——题决问题”教学活动的探究，不外前，笔者在讲人教版选修２－２“推理与证明”时上了如下一节课，感受颇多，写下拙文。１、教学预想构想通过如下一道例题的教学，将直接证明的若干方法渗透其中，设计了消元法、构造函数法、方程根法等多种方法，预想这是一节很精彩的课。准备题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝１，ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１，求证：－31＜ｃ≤１。２、教学变化上课抄题时，突发奇想，把事先准备好的题目改成了如下的开放题：已知：ａ＋ｂ＋ｃ＝１ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１你有哪些结论呢？2问题一提出，学生就讨论开了，有些学生找不着探究方向，有些学生虽然得到了一些简单的结论，但却放弃了，（教师应及时拨正或指明学生探究的方向，并给学生探究的热情和信心）３、探究第一波：问渠哪得清如许，唯有源头活水来教师：从等式着眼，大家得到哪些优美的等式？（片刻）学生１：可以得到ａｂ＋ｂｃ＝０，（绝大多数学生的共识）学生２（接学生１）：可得（ａ＋ｂ）２＋（ｂ＋ｃ）２＋（ｃ＋ａ）２＝２学生3：还可以得到（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=2。这些都是最基本的等式，大多数学生都能得到，思路源自将①式平方再与②进行运算。学生4：当abc≠0时，有a1+b1+c1=0；当abc=0时，必定是一个为1，另两个为0。学生5：若将①×②还得到a3+b3+c3=3abc+1，理由是①×②，有a3+b3+c3+ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2=a3+b3+c3+ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=a3+b3+c3+ab–abc+bc–abc+ca-abc3=a3+b3+c3-3abc=1学生6：还可以得到a4+b4+c4=4abc+1，理由是②式两端平方，有a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1又2（a2b2+b2c2+c2a2）=2[（ab+bc+ca）2-2ab2c-2a2bc-2abc2]=-4abc（a+b+c）=-4abc，故a4+b4+c4=4abc+1大精彩了！学生鼓掌。这是一个引火线，有学生不由自主地去探究是否有a5+b5+c5=5abc+1片刻，学生7证明了猜想a5+b5+c5=5abc+1是正确的，理由是（a2+b2+c2）（a3+b3+c3）=a5+b5+c5+a2b2（b+a）+a2c2（a+c）+b2c2（b+c）=a5+b5+c5+a2b2（1-c）+a2c2（1-b）+b2c2（1-a）=a5+b5+C5+a2b2+b2c2+c2a2-abc（ab+bc+ca）=a5+b5+c5-2abc，故a5+b5+c5=5abc+1。教师：很好！又得到一个结构优美的式子，我们这些同学一个接一个得到一连串优美的等式，他们都是美的创造者，我们享受着式子之美，享受着数学之美，我们不得不感4叹数学家普洛克拉斯的那句话：哪里有数，哪里就有美！4、探究第二波：山重水复疑无路，柳暗花明又一村教师除了是课堂活动的组织者，更应是对学生进行学习情感感染、进行入文关怀的实施者，至此，学生的积极性已经被数学的美所感染，顺着思路，多数学生已经意识到将上述结论进行归纳推理，即证明上面优美等式组的一般情形：an+bn+cn=nabc+1（n≥3）通过巡视，发现有些学生试图用数学归纳法来证明，然而证明过程中在k→k+1时出现困难，大家陷入沉默。突然一位平时基础不是太好的学生8站起来：老师，我认为这个式子不能推广，当n=6时，我取a=21，b=451，c=451，此时a6+b6+c6=6419，而6abc+1=41，显然不等，（话语中显得信心不足）教师：不鸣则已，一鸣惊人！太好了，大家要学习学生8这种敢于质疑的态度，猜想后的结论不一定正确，需要我们支检验和证明，上述证明过程也体现了特殊与一般的辩证关系，验证了高斯的一句话：“数学中的一些美丽定理具有这样的特性；它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深。”5、探究第三波：“同”上高楼，望尽天涯路眼看时间已过大半，本想直接讲预设题的，突然学生9站起5来。学生9：老师，我想到一个问题，刚才我们得到a3+b3+c3=3abc+1，那么，a3+b3+c3和1的大小关系是什么呢？教师：爱因斯坦说过，提出问题比解决问题更重要！我们提倡学生9这种善于利用已知结论提出新问题的做法，实际上这个问师等价于比较abc与0的大小，如何比呢？学生又陷入了沉思，他们有的相互讨论，有的自已动笔演绎，通过巡视，发现他们中有很多精彩的证明思路。比如学生10的证明：易知|a|≤1，|b|≤1，|c|≤1，且ab+bc+ca=0。由学生4的结论知，当a、b、c中有0时，必定是一个为1，另两个为0，此时abc=0；当a、b、c均不为0时，∵a=cbbc=abc1，b=caac=bac1，c=abba=cba1，∴abc=)1)(1)(1(222cbacba。∵1-a＞0，1-b＞0，1-c＞0，∴abc=)1)(1)(1(222cbacba＜0。综上，我们有abc≤0，即得a3+b3+c3≤1。学生11：我感觉a3+b3+c3不可能无限小下去，是不是6大于某个数？教师：你的直觉真好！大家在解决数学问题时要有数学直觉，实际上是a3+b3+c3≥31，我是通过一个著名的不等式发现的，就是切比雪夫不等式。设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则n1niiiba1≥n1niia1·n1niib1，或a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，则n1niiiba1≥n1niia1·n1niib1，其证明我们要到选修4-5《不等式选讲》讲了排序不等式知识后才可证明，切比雪夫是俄国数学家、机械学家，他被称为“彼得堡数学学派的创始人”，很多数学名词都以其名字来命名，比如切比雪夫多项式、切比雪夫定理等，大家课后可以搜集其生平事迹，（展示教师自己的思维，更易拉近与学生之间的距离。从学生的眼神中可以看出他们很渴望了解有关数学家的数学史知识）另外，大家课后用其他方法来证明不等式a3+b3+c3≥31，可以通过合作完成这个证明，相信自己一定会成功的！6、教后思考我们的教师通常都是准备好一节课，然后按照自己的设计流程去教学，教学的任务在规划下“完成”了，学生究竟从你这一节课得到什么有意义的东西，是解题方法技巧，还7是数学蕴涵的美和真呢？他们的能力又得到怎样的提升？这些都是我们新课程改革中应予思考的问题。通过这节课，笔者认为要给学生一堂真实而富有挑战的课，一堂内容丰富而数学文化味浓烈的课，一堂充分尊重和平等的关怀课，一堂能够真正培养学生能力的探究课。我们教师应力求做到：通过课堂学习，让学生留下一些值得思考去留恋去品味的东西。