一小波变换的定义

一．小波变换的定义给定一个基本函数)(t，令)(1)(,abtatba（1.1）式中ba,均为常数，且0a。显然，)(,tba是基本函数)(t先作移位再作伸缩以后得到的。若ba,不断地变化，我们可得到一族函数)(,tba。给定平方可积的信号)(tx，即)()(2RLtx，则)(tx的小波变换（WaveletTransform，WT）定义为dtabttxabaWTx)()(1),()(),()()(,,ttxdtttxbaba（1.2）式中ba,和t均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从到。信号)(tx的小波变换),(baWTx是a和b的函数，b是时移，a是尺度因子。)(t又称为基本小波，或母小波。)(,tba是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（1.2）式的WT又可解释为信号)(tx和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(tx是实信号，)(t也是实的，则),(baWTx也是实的，反之，),(baWTx为复函数。在（1.1）式中，b的作用是确定对)(tx分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波)(t作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t变成)(at，当1a时，若a越大，则)(at的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t变得越大，反之，当1a时，a越小，则)(at的宽度越窄。这样，a和b联合越来确定了对)(tx分析的中心位置及分析的时间宽度。这样，（1.2）式的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对)(tx作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。（1.1）式中的因子a1是为了保证在不同的尺度a时，)(,tba始终能和母函数)(t有着相同的能量，即dtabtadttba22,)(1)(令tabt，则taddt，这样，上式的积分即等于dtt2)(。令)(tx的傅里叶变换为)(X，)(t的傅里叶变换为)(，由傅里叶变换的性质，)(,tba的傅里叶变换为：)(1)(,abtatbabjbaeaa)()(,（1.3）由Parsevals定理，（1.2）式可重新表为：)(),(21),(,baxXbaWTdeaXabj)()(2（1.4）此式即为小波变换的频域表达式。二．小波变换的特点比较（1.2）和（1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果)(,tba在时域是有限支撑的，那么它和)(tx作内积后将保证),(baWTx在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使),(baWTx反映的是)(tx在b附近的性质。同样，若)(,ba具有带通性质，即)(,ba围绕着中心频率是有限支撑的，那么)(,ba和)(X作内积后也将反映)(X在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波)(t，使其在时域和频域都是有限支撑的。若)(t的时间中心是0t，时宽是t，)(的频率中心是0，带宽是，那么)(at的时间中心仍是0t，但时宽变成ta，)(at的频谱)(aa的频率中心变为a0/，带宽变成a/。这样，)(at的时宽－带宽积仍是t，与a无关。这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q性质。定义0Q/=带宽/中心频率(1.5)为母小波)(t的品质因数，对)(at，其带宽/中心频率=Qaa00///因此，不论a为何值)0(a，)(at始终保持了和)(t具有性同的品质因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图2.1说明了)(和)(a的带宽及中心频率随a变化的情况。图2.1)(a随a变化的说明；(a)1a，(b)2a，(c)2/1a我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a变小时，对)(tx的时域观察范围变窄，但对)(X在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图2.1c所示。反之，当a变大时，对)(tx的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图2.1b所示。将时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图2.2所示。图2.2a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间00a2/2/0a202022/002t)2/1(a)1(a)2(a/22/2tt由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图2.2中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中02处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中20/处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的a值下，图2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的a对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的函数），但在时域所对应的范围是~，完全不具备定位功能。这是FT的一个严重的缺点。人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT的不足。重写（1.1）式，即dtetgxtSTFTtjx)()(),(jtetgxdgx)(),()()(,(2.6)由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数je的频率。同理，当复指数由je变成2je（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数)(g。这样，当复指数je的频率变化时，STFT的基函数)(,tg的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当由0变化成02时，)(,tg对)(x分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT不具备恒Q性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力。M通道最大抽取滤波器组是将)(nx分成M个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即M/2，其中心频率依次为kM,1,,1,0Mk（注：若是DFT滤波器组，则中心频率在kM2,1,,1,0Mk），且这M个子带信号有着相同的时间长度。在小波变换中，我们是通过调节参数a来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。由（1.1）式，定义22)()(1),(dtabttxabaWTx(2.7)为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量分布，但它是随位移b和尺度a的能量分布，而不是简单的随),(t的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时－频分布。但由于尺度a间接对应频率（a小对应高频，a大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。三．连续小波变换的计算性质1．时移性质若)(tx的CWT是),(baWTx，那么)(tx的CWT是),(baWTx。该结论极易证明。记)()(txty，则dtabttxa1baWTy)()(),(tdabttxa1))(()(),(baWTx（3.1）2．尺度转换性质如果)(tx的CWT是),(baWTx，令)()(txty，则),(1),(baWTbaWTxy（3.2）证明：dtabttxabaWTy)()(1),(，令tt，则td1abttxa1baWTy)()(),(dtabttxa)()(11),(1baWTx该性质指出，当信号的时间轴按作伸缩时，其小波变换在a和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。3．微分性质如果)(tx的CWT是),(baWTx，令)()()(txdttdxty，则),(),(baWTbbaWTxy（3.3）证明：dtabtdttdxabaWTy)()(1),(dtabtttxttxaLimt)()()(10dtabttxadtabtttxatLimt)()(1)()(110由（3.1）式的移位性质，有tbaWTtbaWTLimbaWTxxty),(),(),(0即),(),(baWTbbaWTxy4．两个信号卷积的CWT，令)(),(thtx的CWT分别是),(baWTx及),(baWTh，并令)()()(thtxty，则),()(),(baWTtxbaWThby),()(baWTthxb（3.4）式中符号b表示对变量b作卷积。证明：dtabtdthxabaWTy)(])()([1),(ddtabtthax])()(1)[(再由（3.1）式的移位性质，有dbaWTxbaWThy),()(),(同理，dbaWThbaWTxy),()(),(于是（3.4）式得证。5．两个信号和的CWT令)(),(21txtx的CWT分别是),(),,(21baWTbaWTxx，且)()()(21txtxtx，则),(),(),(21baWTbaWTbaWTxxx（3.5a）同理，如果)()()(2211txktxktx，则),(),(),(2211baWTkbaWTkbaWTxxx（3.5b）（3.5）式说明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。看到WT的这一性质，估计读者马上会想到WVD中的交叉项问题。由（3.5）式看来，似乎小波变换不存在交叉项。但实际上并非如此。（1.2）式所定义的CWT是“线性”变换，即)(tx只在式中出现一次，而在（1.2）式的WVD表达式中)(tx出现了两次，即)2/()2/(txtx，所以，我们称以Wigner分布为代表的一类时－频分布为“双线性变换”。正因为如此，),(tWx是信号)(tx能量的分布。与之相对比，小波变换的结果),(baWTx不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（2.7）式的尺度图则是信号)(tx能量的一种分布。将)()()(21txtxtx代入(2.7)式，可得：2x2x2xbaWTbaWTbaWT21),(),().(