一次函数的应用例题精讲

课件中心精品资料版权所有@课件中心第1页共6页一次函数的应用例题精讲函数的应用是灵活运用函数的知识去解决实际问题，题中的信息有的是利用表格提供，要善于从图文、表格中准确获取信息，用函数的知识分析和解决问题。复习中要提高分析、审题能力和建立数学模型的能力。例1．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：A型B型价格（万元／台）1210处理污水量（吨／月）240200年消耗费（万元／台）11经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。（1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）解：（1）（1）购买污水处理设备A型x台，则B型)10(x台，由题意知：)10(1012xxy即1002xy∵1002xy≤105∴x≤2.5又∵x是非负整数∴x可取0、1、2∴有三种购买方案：①购A型0台，B型10台；②购A型1台，B型9台；③购A型2台，B型8台；（2）由题意得)10(200240xx≥2040，解得x≥1∴x为1或2∵由1002xy得k=20，y随x的增大而增大，为了节约资金，应选购A型1台，B型9台。（3）10年企业自己处理污水的总资金为：102＋10×10＝202（万元）若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为：2040×12×10×10＝2448000（元）＝244.8（万元）∵244.8－202＝42.8（万元）∴能节约资金42.8万元。例2．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．（l）根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，l吨水生产出的饮料所获的利润是多少？1吨水价格x（元）46用1吨水生产的饮料所获利润y（元）200198（2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元．求W与t的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．课件中心精品资料版权所有@课件中心第2页共6页解：(1)(1)用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数式为：bkxy，根据题意得：bkbk61984200解得：2041bk∴所求一次函数式是：204xy当x=10时，y=－10+204＝194（元）（2）当1吨水的价格为40元时，所获利润是：y＝－40＋204＝164（元）．∴W与t的函数关系式是：164)20(20200xw即：720164tw∵20≤t≤25，∴4000≤w≤4820一次函数解析式的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)，利用这一关系式可以解决一些实际问题或几何题．现举例说明如下．例1某种储蓄的月利率是0．36％，今存入本金100元，求本息和(本金与利息的和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(1998年宁夏回族自治区中考题)分析∵利息＝本金×月利率×月数，∴y＝100＋100×0．36％×x＝100＋0．36x．当x＝5时，y＝100＋0．36×5＝101．8，即5个月后的本息和为101．8元．例2托运行李P千克(P为整数)的费用为C，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角，则计算托运行李费用C的公式是______，托运重量为28．4千克的行李需付______元．(1996年安徽省中考题)分析由题意知C＝2＋0．5(P－1)．(P为自然数)根据题意，28．4千克应按29千克计算，则当P＝29时，C＝2＋0．5(29－1)＝16(元)．例3如图，在直角梯形ABCD中，∠C＝45°，上底AD＝3，下底BC＝5，P是CD上任意一点，若PC用x表示，四边形ABPD的面积用y表示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当四边形ABPD的面积是梯形ABCD面积的一半时，求点P的位置．分析(1)过D，P分别作DE⊥BC，PF⊥BC，垂足为E，F．课件中心精品资料版权所有@课件中心第3页共6页∵∠C＝45°，∴DE＝EC＝BC－AD＝5－3＝2．在Rt△PFC中，PC＝x，∠C＝45°，(2)当四边形ABPD的面积是梯形面积一半时，则例4A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．(1)设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？分析由已知条件填出下表：(1)依题意得函数式：W＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[8－(6－x)]＝200x＋8600．课件中心精品资料版权所有@课件中心第4页共6页(2)由W＝200x＋8600≤9000，得x≤2，∴x＝0，1，2，共有3种调运方案．(3)当x＝0时，总运费最低，即从A市调10台给C村，调2台给D村，从B市调6台给D村，为总运费最低的调运方案，最低运费为8600元．函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多。它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现。1、成本与利润问题。例1：一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）850400350O-1001020y（百元）x（百人）解析：⑴由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-100，∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100⑵当10x≤20时，设y关于x的函数解析式为y=mx+b，∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上，∴10m+b=350解得m=5020m+b=850b=-150∴y=50x-150∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100∴y=50x-100(0≤x≤10)50x-150(10x≤20)令y=360当0≤x≤10时，50x-100=360解得x=9.2s=50x+100=50×9.2+100=560当10x≤20时，50x-150=360解得x=10.2s=50x+100=50×10.2+100=610。要使这次表演会获得36000元的毛利润.要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000元或61000元。点评：此题是借助函数图象确定函数关系式，从而进行经济决策的经济问题。题中需注意提示和分段函数的分情况讨论。2、行程问题。课件中心精品资料版权所有@课件中心第5页共6页例2：甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？12623S（千米）t（小时）CDEFB甲乙解析：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s甲=k1t，s乙=k2t。由题意得：6=2k1，6=3k2，解得：k1=3，k2=2∴s甲=3t，s乙=2t⑵当甲到达山顶时，s甲=12（千米），∴12=3t解得：t=4∴s乙=2t=8（千米）⑶由图象可知：甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12）由题意得：点B的纵坐标为12-23=221，代入s乙=2t，解得：t=421∴点B（421，221）。设过B、D两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得421t+b=221解得：k=-65t+b=12b=42∴直线BD的解析式为s=-6t+42∴当乙到达山顶时，s乙=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）点评：借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键。3、饮水问题。例3：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个学声所接的水量是相等的。两个放水管同时打开时，它们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系如下图所示：课件中心精品资料版权所有@课件中心第6页共6页O21281718y（升）x（分钟）⑴求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)（x≥2）的函数关系式；⑵如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水接束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？⑶按⑵的放法，求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水？解析：⑴设存水量y与放水时间x的函数解析式为y=kx+b,把（2，17）、（12，8）代入y=kx+b,得17=2k+b解得k=-109b=5948=12k+b∴y=-109x+594(2≤x≤9188)⑵由图象可得每个同学接水量为0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5（升），存水量y=18-5.5=12.5（升）∴12.5=-109x+594解得x=7∴前22个同学接水共需要7分钟。⑶当x=10时，存水量y=-109×10+594=549，用去水18-549=8.2（升）8.2÷0.25=32.8∴课间10分钟内最多有32个同学能及时接完水。点评：这是2005年泰州市的一道中考题，主要考查的是学生对图象的识读能力，能否围绕图象来解决问题。在