优化指数函数在生物教学中的应用

1优化指数函数在生物教学中的应用摘要：随着学科间的知识整合，生物开始和其他学科中的思想和研究手段进行交叉，在生命科学史上数学思想的广泛应用已经对生物的研究产生了巨大的影响；在高中课堂教学中，数学也同样在影响着生物教学。这就要求教师要学会综合应用相关学科知识，解决生物教学中的相关问题。本文综合论述了指数函数在高中生物教学中的应用，旨在优化课堂教学，使知识系统化。关键词：优化；指数函数；高中生物教学；优化课堂教学是国家推行素质教育、减轻学生过重课业负担、提高教学质量的一个基本途径。课任教师除了提高自身的综合素质，更主要的是要把握好科学的教学方法，理解创新教育和素质教育的密切关系。生物学是自然科学的一部分，随着科学的进步，数学、物理、化学、信息技术等学科知识大量地渗透到生命科学领域，在碰撞与交融中促进了生物学的大发展。”[1]遗传规律的发现和DNA双螺旋结构的发现，这两件生命科学史上有重大影响的事件，都体现出数学方法在生物学上的应用。指数函数是学生在高中阶段系统研究的第一个函数，借助指数函数有助于促进学生学习的迁移，从而优化生物课堂教学，提高学生生物科学素养。一、可用y=2n表示的数据（一）有n对等位基因的个体自交后代的表现型种类（本文所指的等位基因均指位于不同同源染色体上，且显性基因对隐形基因为完全显性）例题：一个基因型为AaBb的植株自交后代表现型有种。分析：对AaBb基因型的个体来说，细胞中的2对等位基因分别位于两对同源染色体上，在减数分裂时可以进行自由组合，形成4种配子，即四种雌雄配子：AB、ab、Ab、aB，雌雄配子的结合几率相等，所以自交后代基因型为9/16AB、3/16Abb、3/16aaB、1/16aabb。所以该植株自交后代有四种表现型。引申：一个有n对等位基因的个体，其自交后代表现型有种。分析：假设该植株的基因型为AaBbCcDdEeFfHh……,对于含一对等位基因的个体来说，自交后代的表现型是两种。根据基因的分离与自由组合定律，该个体自交后代的表现型是2n种。（二）含n对等位基因的F1测交后代基因型种数、表现型种数测交实验验证了F1是杂合子，并且证明了F1在产生配子时成对的基因发生了分离，分离后的基因分别进入到不同的配子中去，所以控制每一对相对性状的两个等位基因分别到两个配子中去，形成两种配子。因此通过基因的自由组合，F1可形成2n种配子。由于隐性纯合子只产生一种配子，所以测交后代基因型种类为2n种，表现型种类也为2n种。（三）与细胞分裂有关的计算1、一个性原细胞进行的减数分裂（1）如果不考虑交叉互换，减数分裂复制一次，分裂两次，可产生4个子细胞，2种类型。（2）如果有一对同源染色体的非姐妹染色单体之间发生交叉互换，则可产生四种类型的子细胞，其中亲本类型2种，重组类型2种2．某一个个体的所有性原细胞（体细胞中有n对同源染色体）进行减数分裂（1）不考虑交叉互换例题：（2007.济南）基因型为AabbCC与aaBBcc的小麦进行杂交，这三对等位基因分别高中生物论文2位于非同源染色体上，F1杂种形成的配子种类数和F2的基因型种类数分别是（）A.4和9B.4和27C.8和27D.32和81分析：F1基因型为AaBbCc，根据乘法原理，F1杂种形成的配子种类数是2×2×2=8种。因此推知，有n对等位基因的个体产生的配子基因型种类数，因为一对等位基因中的两个基因（如A与a），他们进入配子的几率是相等的，所以可以产生两种配子，根据基因的自由组合定律，该个体可以产2n种配子。（2）考虑交换，且有a对染色体之间发生交叉互换。根据上文，互换了a对，可产生4a种配子；没发生互换的有n-a对，则可产生2n-a种配子；根据基因自由组合定律，其共产生配子的种类为：2n-a×4a=2n+a种。（四）DNA复制的相关计算1、一个双链DNA分子连续复制例题：标记一个双链DNA分子的两条链，连续复制n次后有几个DNA、几条子链？含有最初母链的DNA有几个，不含标记的DNA子链有几条？分析：根据半保留复制原则，一个双链DNA复制n次后可形成2n个子代DNA分子，所以有2n×2=2n+1条子链。其中含有最初母链的DNA分子有2个，占所有子代DNA分子的比例为2/2n，不含标记的DNA子链有2n×2-2条，比例是（2n×2-2）/2n×2=1-1/2n。2、DNA复制需要的各种碱基的数量例题：（2007上海高考）已知某DNA分子含有1000个碱基对，其中一条链上A:G:T:C=1:2:3:4。该DNA分子连续复制2次，共需要鸟嘌呤脱氧核苷酸分子数是()A.600个B.900个C.1200D.1800分析：可算出每个DNA分子含有G为600个，复制两次，则形成4个DNA分子，共有2400个G,减去原来DNA中的600个，因此另外的1800个G从周围环境中获得。引申：已知某生物双链DNA中含a个碱基，其中含胞嘧啶m个，则该DNA复制n次需要游离的胸腺嘧啶脱氧核苷酸的数目是。分析：复制产生的是与亲代DNA完全相同子代DNA，每一个DNA分子中胸腺嘧啶的含量是（a-2m）/2，复制n次后共有DNA分子数是2n个，由于原先的两条链也在其中，所以需要2n-1倍原料，合成2n个DNA需要从原料中摄取的原料是[（a-2m）/2]×（2n-1）。二、可用y=1/2n表示的数据（一）与杂合子自交n代有关的计算例题：(1998上海高考)将具有一对等位基因的杂合体，逐代自交3次，在F2代中纯合体比例为（）A.81D.87C.167D.169、解析：依据分离规律写出杂合体自交3代的遗传图：3图1-2根据题意，F3中纯合体的概率为7／16AA+7／16aa=7／8，杂合体的概率为1／8，选B。推知杂合体自交n代后的杂合体概率为1/2n，纯合体（AA+aa）的概率为1-1/2n。因此，可以根据指数函数的特点，画出曲线。如图1-1所示是杂合子Aa自交后代纯合子的比例。如图1-2所示是杂合子Aa自交后代显性纯合子的比例。当n无限大时，纯合体概率接近100％，也就是说，想要提高纯合子比例，就让杂合子连续自交。例题：（2008.潍坊）具有一对等位基因的杂合子，至少连续自交几代后，纯合子的比例才可达到95%以上？（）A.4B.5C.6D.7分析：具有一对等位基因的杂合子自交n代后纯合子比例是1-1/2n，当n等于4时，纯合子的比例是93.75%，当n等于5时，纯合子的比例是96.88%。引申：若某个体基因型为Aa，连续自交N次，逐代淘汰基因型为aa的个体，则Fn代Aa的比例是多少？分析：此题可理解为全部连续自交，并未淘汰aa。所以在连续自交N次，后代中杂合子比例是1/2n，后代中减去隐性纯合子aa的比例（1-1/2n）/2，Fn代Aa的比例就是（1/2）n/[1-（1-1/2n）/2],化简后可得2/（2n+1）[2]。（二）与细胞分裂有关的计算1.染色体异常例题：正常人的体细胞中含有23对同源染色体，分别编为1~23号，在人类的遗传病中有一种叫21-三体综合征，是一种常见的染色体病。对患者染色体进行检查，发现患者比正常人多了一条第21号染色体。问：若一位正常人和一位三体综合征患者婚配，他们后代的发病n是多少？分析：此类问题，教师通常是这样解释：由于21三体综合征患者有47条染色体，这样会使这个个体的原始生殖细胞在减数分裂时染色体联会紊乱，所以无法生育。其实这种说法是不图1-114对的，因为第21号染色体不一定平分，在减数分裂时可以有一极分到一条21号染色体，另一极分到2条，所以患者的后代有一半的概率遗传这种病。2.同一亲本后代染色体组成的计算例题：从理论上分析，一对夫妇所生的两个孩子（非同卵双胞胎）所含的染色体组成完全相同的概率是多少？分析：对于其中一个孩子来说，双亲的原始生殖细胞在减数分裂时每一对同源染色体都要彼此分离，各对染色体分向两极是随机的。所以子代得到父方（或母方）成对染色体中的一条，另外一个孩子和他得到同一条染色体的概率是1/2。所以，23对染色体组成完全相同的概率是（1/2）46。3.不同物种的杂种不育的原因例题：一种小麦有14条染色体，另一种节麦也有14条染色体，它们杂交后代F1不能形成配子的原因是？分析：两个不同品种的小麦杂交，虽然可以产生后代，但由于F1代中不含同源染色体，减数分裂过程中联会紊乱，因此不能形成正常的配子，所以F1不育，这属于生殖隔离。不过F1偶尔也可以形成可育的配子，但概率极低。即只有当全部染色体在减数第一次分裂时都分配到一极时才能形成有效的配子。因为在减数第一次分裂中期，他们的任何一条染色体都没有可以配对的同源染色体，从而被随机地分向两极，所以形成的配子是高度不育的。因为每一条染色体分到一极或另一极的机会均是1/2，从而所有染色体都分到一极的机会是1/214。[3]三、可用y=3n表示的数据1.与杂合子自交有关的基因型种类的计算例题：一个有n对等位基因的个体，其自交后代基因型有种。分析：假设该植株的基因型为AaBbCcDdEeFfHh……,对于含一对等位基因的个体来说，自交后代的基因型是三种。根据基因的分离与自由组合定律，该个体自交后代的基因型是3n种。2.不完全显性时F2表现型、基因型的计算例题：(08上海生物)17．金鱼草的红花（A）对白花（a）为不完全显性，红花金鱼草与白花金鱼草杂交得到F1，F1自交产生F2，F2中红花个体所占的比例为（）A．1/4B．1/2C．3/4D．1分析：由于金鱼草的红花对白花为不完全显性，也就是说杂合体不显红色，而显粉红色。只有显性纯合子才显红色，故F1代自交得到的F2代会发生性状分离，F2代中只有1/4的显性纯合子才显红色。不完全显性又叫伴显性，是具有相对性状的亲本杂交后，F1显现中间类型的现象。例如，红花紫茉莉（AA）与白花紫茉莉（aa）杂交，其F1基因型为Aa，它开的花既非亲本AA的红花又非亲本aa的白花，而是双亲的中间类型，即开粉红色的花，说明基因A和a对杂合体开粉红色花的表现均有作用，不存在完全显性的关系，因而显性基因A的显性是不完全的。F1不出现亲本性状仅仅是由于A基因对a基因呈不完全显性的关系，所以F1的Aa自交后，F2会出现3个不同的表现型和三种基因型，其个体数之比都是1∶2∶1，这就是不完全显性时在F2的典型比例。四、可用y=4n表示的数据1.含有n个碱基的双链DNA分子的种类数的计算5例题：某双链DNA分子片段由120个碱基构成，可因碱基对组成和序列的不同，而形成具有不同遗传信息的DNA分子，其种类数最多可达几种？分析：此例考察的是有关DNA的碱基的组成和其特异性的关系，涉及到指数函数和排列组合的应用。虽然组成DNA分子的碱基只有4种，碱基的配对方式却只有两种，正是由于组成DNA的碱基的数量不同，碱基对的排序不同，才形成了DNA分子的多样性。就此例而言，组成DNA的一个碱基对的位置上一共应该有四种排法，由于一共有60个碱基对，所以可以合成460个不同的DNA分子。就此例推出，含有n对碱基的DNA分子片段，可以形成4n种不同遗传信息的DNA分子。2.含有n对等位基因的个体自交所产生的配子的结合方式分析：由于含有n对等位基因的个体可以产生2n种配子，所以自交后雌雄配子有4n种结合方式。五、其他1.氨基酸的排序问题例题：构成生物体的氨基酸有20种，已知某蛋白质是由100个氨基酸构成的一条链状结构，那么它的氨基酸的排列顺序最多可有____种分析：每个氨基酸都有20种选法，所以有100个位置，就有20100种氨基酸排序。2.种群增长的“J”型曲线当环境中空间、食物等资源是无限时，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，通常是呈指数式“J”型增长，故称为种群增长的“J”型曲线。以某种动物为例，假定种群的起始数量是N0,年增长率为λ，该种群每年的增长率保持不变，那么一年后该种群的数量应为N1=N0×λ。两年后的数量是N2=N1×λ=N0×λ2。T年后该种群的数量是Nt=N0×λT。高中生物学科中涉及到的与指数函数相关的内容远不及这些，限于篇辐，本文在此只作简要的归纳。可见，学生如果能够熟练应用指数