一道中考压轴题的分析

一道中考压轴题的分析江阴市长山中学方其本文的例题是今年无锡中考数学压轴题，题目新颖而富有创意，对学生的空间思维能力和操作能力有较为严格的要求。这里我给大家具体分析这道题。原题：下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明.（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等解题分析：在第⑴小题中，把图1的正方形纸片剪拼成底面是正方形的直四棱柱。这段叙述中显然有几个重要的点：“剪拼”、“底面是正方形”、“直四棱柱”。为什么要强调“剪拼”？因为“剪拼”区别于“折叠”，它允许破坏原有的图形并允许重新组合，而折叠只能在原有图形上进行翻折操作。一些考生由于没有清楚辨析两者的不同，才对本题无从下手。“底面是正方形的直四棱柱”便如右图所示。由右图我们可以得出几个有用的性质：两正方形全等；四长方形全等；每个长方形的一组对边与正方形边长长度相等。做完了充分的准备工作，下面要进行解题的思考：方法一：根据题目所给正方形的边长为20cm，一半即为10cm，我们先把正方形划为四份，然后按照上面两种性质尝试画图：如图i所示，沿实线剪下并拼成底面是正方形的直四棱柱，A、B为底面的正方形、C、D、E、F为侧面的长方形，符合题目要求。图1图2图3图i1010101010105555FEDCBA注意题目给出“在图中标注出必要的符号和数据”和“作简要说明”的要求。说明：如图i所示，A、B为底面的正方形、C、D、E、F为侧面的长方形其实我们还可以发现另外几种类似的作法，诸如：其他类似的作法就不再枚举了。方法二：将正方形纸片四个角的小正方形剪下，拼成一个大正方形，如图ii所示：个人建议用该种方法作图，这样第⑵小题便是照葫芦画瓢，轻易解决。第⑵小题是仿照第⑴小题出题，我们要考虑以下几个问题：1.底面的两个等边三角形分别应如何剪拼得到？2.侧面的三个矩形从何而来？我们先研究哪三个部分可以拼成一个正三角形，如图所示：那么把三部分分开，正如大正三角形的三个角上的三个部分：这样第一个疑问就解开了，下面考虑三个矩形从何而来？在上方第三张图的基础上，可以把三个矩形放在大三角形的三条边上。5510551010101010FEDCBAFD5510551010101010ECBAFD5510551010101010ECBA5555551055101010图ii510551055510如图iii所示，大三角形三个角上的四边形剪下拼成一个正三角形作为一个底面，中央的正三角形作为一个底面，三个矩形作为侧面。解决了第⑵小题，第三小题其实是相同的方法，将大正五边形五个角上的五个四边形剪下，拼成一个正五边形作为一个底面，纸片中央的正五边形作为一个底面，五个矩形作为侧面。作法如图iv所示：小结：一般情况下第⑵小题能思路清晰地想到类似的方法，第⑶小题就迎刃而解了。做到有几小问组成的大题目时，要巧妙推敲几小题之间的递进承接关系，才能避免每小问都花大量时间，做到事半功倍。以上是我对今年无锡中考数学压轴题的一些思路和分析，希望考生们在中考前多接触此类新颖的方案设计问题，锻炼思维，更好地迎接瞬息万变的考试510551055510图iii55105510551055105510图iv