一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广1991年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题：如图1，设O是ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是O与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，求证：AK平分BC.贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题，给出了纯几何证法的证明1文.湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作《平面几何证明方法全书》三次证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去.在证明过程中，要用到以下引理文2：（1）.若点00(,)Pxy为圆222xyR外一点，过点P引圆的两条切线方程为：222222220000()()()xxyyRxyRxyR；切点弦的方程为：200xxyyR.（2）.若点00(,)Pxy为椭圆22221(0)xyabab外一点，过点P引椭圆的两条切线方程为：222220000222222(1)(1)(1)xxyyxyxyababab；切点弦的方程为：00221xxyyab.（3）.若点00(,)Pxy为双曲线22221(0,0)xyabab外一点，过点P引双曲线的两条切线方程为：222220000222222(1)(1)(1)xxyyxyxyababab；切点弦的方程为：00221xxyyab.（4）.若点00(,)Pxy为抛物线22(0)ypxp外一点，过点P引抛物线的两条切线方程为：2220000()(2)(2)yypxxypxypx；切点弦的方程为：00()yypxx.1.竞赛题的解析证法证明：如图2，以旁切圆的圆心O为原点，直线OD为y轴，过O点垂直于OD的直线为x轴.建立直角坐标系，图1OKFEDCBA设旁切圆方程为222xyR，则点D的坐标为（0，R），直线BC的方程为yR.设点A的坐标为00(,)xy，则有切点弦EF的方程为200xxyyR………①两条切线AF、AE的方程为222222220000()()()xxyyRxyRxyR…②在方程①中，令0x，得20Ryy，则点K的坐标为20(0,)Ry.直线AK的方程为：202000RyyRyxyx……③.将yR代入方程③解得00xRxyR.设AK与BC交于点M，点M的坐标为00(,)xRRyR.把yR代入方程②并整理得：222220000()2()()0yRxxRyRxyRR.设点B、C的坐标分别为12(,),(,)xRxR，由韦达定理得0001222002()2xRyRxRxxyRyR，BC中点的横坐标为01202xRxxyR，BC的中点坐标为00(,)xRRyR.与点M的坐标相同.所以点M为BC的中点，即直线AK平分BC.2.竞赛题在圆锥曲线中的推广定理1：如图3，椭圆22221(0)xyabab旁切于ABC的BC边外，D、E、F分别是椭圆与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC.证明：设点A坐标为00(,)xy，点D坐标为(,)mn，AK与BC相交于点M.则过点D的切线方程为：221mxnyab………①由引理2可知过点A的两切线方程为：222220000222222(1)(1)(1)xxyyxyxyababab………②切点弦EF的方程为00221xxyyab………③直线DO的方程为：nyxm………④联立③、④可得K点坐标为：222222220000(,)abmabnbmxanybmxany.直线AK的方程为：222222222000002222222222000000abnbmxyanyabmyabnxyxabmbmxanxyabmbmxanxy………⑤联立①⑤可得点M的横坐标：24244424242200000422422422222420000.2Mabmxabmabnxyabmnyabnxxanyabnbmxabmnxyabm设点B、C的横坐标为Bx、Cx，B、C的中点横坐标为x中，联立①②可得关于x的一元二次方程：422422422222422000044242424242200000442644222622620000(2)(22222)(2)0.anyabnbxmabmnxyabmxabmabmxabxynabmnyabnxxabxababnxaynabny由韦达定理可得2424442424220000042242242222242000022BCxxabmxabmabnxyabmnyabnxxanyabnbmxabmnxyabm中点M与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以M为线段BC的中点，即直线AK平分BC.定理2：如图4，双曲线22221(0,0)xyabab旁切于ABC的BC边外，D、E、F分别是双曲线与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC.定理2的证明与定理1的证明类似，由于篇幅所限，不再赘述.定理3：如图5，抛物线22(0)ypxp旁切于△ABC的BC边外，D、E、F分别是抛物线与BC、CA和AB的切点，过点D作x轴的平行线与EF交于点K，则有AK平分BC.证明：设点A坐标为00(,)xy，点D坐标为11(,)xy，AK与BC相交于点H.则有2112ypx，过点D的切线方程为：11()yypxx………①由引理2可知过点A的两切线方程为2220000[()](2)(2)yypxxypxypx………②切点弦EF的方程为00()yypxx………③联立100()yyyypxx可求得点K坐标为：0101(,)yyxyp，进而可得直线AK方程为：201000101001001()22pyypxypxyyyyxpxyypxyy……④联立①④可得点H的横坐标：222200101010110122001122220010101011012201012222.222Hpxyypxyyypxxpxyyxpxpyypypxyypxyyypxxpxyypxpxpyy设点B、C的横坐标为Bx、Cx，B、C的中点横坐标为x中，联立①②可得关于x的一元二次方程：22222210010100110101012201010101(22)[42()2][()22]0.pypxyyxpxxpxyyxyyxyyyxpxyxxyypxx由韦达定理可得22220010110101012200112(2),22BCpxyypxypxyyyypxxxxpxpyypy即22220010110101012200112.222BCxxpxyypxypxyyyypxxxpxpyypy中点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以H为线段BC的中点，即直线AK平分BC.若O是ABC的内切圆，其他条件不变，结论依然成立，用解析法证明的步骤完全相同.这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一.这种方法的优点是思路统一,可以推广到圆锥曲线中.参考文献:1.李小雪:《射影几何的一个应用—谈谈两道竞赛题的解法》.数学通报,1994年第10期.2.单墫、杜锡录等.《初等数学能力训练》，山东科学技术出版社，1987年.