1/5一道高考解析几何题的求解及其推广2011年全国高考(山东卷)数学理科试题第22题(压轴题)是一道解析几何题,以椭圆为背景,涉及三角形、定值、最值以及探索性问题等知识,综合性比较强,尽管山东省这么多考生只是为数不多的学生得了满分,仔细分析试题难度并不太大,解题路子也比较宽,可以多个角度进行求解。若进一步对试题研究可发现该试题的结论可进行推广,得到一类曲线的相应性质,颇具有一定学习价值。下面对高考题进行多角度求解及其推广,以飨读者。高考题目已知动直线l与椭圆C:22132xy交于1122,,,PxyQxy两不同点,且OPQ的面积62OPQS,其中O为坐标原点.(Ⅰ)证明:2212xx和2212yy均为定值;(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求OMPQ的最大值;(Ⅲ)椭圆C上是否存在三点,,DEG,使得62ODEODGOEGSSS?若存在,判断DEG的形状;若不存在,请说明理由.试题求解证明:(Ⅰ)当直线l的斜率不存在时,,PQ两点关于x轴对称,则1212,xxyy,由11,Pxy在曲线C上,则2211132xy,而1162OPQSxy,则116,12xy.于是22123xx,22122yy.当直线l的斜率存在,设直线l为ykxt,代入22132xy可得2223()6xkxt,即222(23)6360kxktxt,0,即2222364(23)(36)0ktkt,整理得2223kt2121222636,2323kttxxxxkk2/522212121211()4PQkxxkxxxx22222632123ktkk21tdk,222112632622232POQktSdPQtk解得22322kt,满足0222221212122263(2)()2()22323kttxxxxxxkk22222224222366(2)3(32)3(2)342kttkttttttt,222222121212222(3)(3)4()2333yyxxxx,综上可知22123xx,22122yy.另证1:若点11(,)Pxy不在y轴上时,直线1111:,0OPylyxxyyxx,点22(,)Qxy到直线OPl的距离为12122211xyyxdxy,即121222111212221111162222POQxyyxSOPdxyxyyxxy则12126xyyx,当12126xyyx时,121222()6xyyx而2211132xy,2222132xy,则222211222212220323266xxyyxxyy,即221221()()03232xyxy,于是2222122133,22xyxy,而222212123(1),3(1)22yyxx则22123xx,22122yy。同理当12126xyyx时可得22123xx,22122yy。3/5若点11(,)Pxy在y轴上时,点(0,2)P,而62OPQS,则点(3,0)Q,此时结论22123xx,22122yy也成立。综上可知22123xx,22122yy。另证2:由题意可设3cos,2sin,P3cos,2sinQ12211116cossincossin6sin()222Sxyxy因为62OPQS,则sin()1,即()2kkZ则222222123cos3cos3(cossin)3xx,222222122sin2sin2(sincos)2yy.(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,由(Ⅰ)知16216;2OMxPQ当直线l的斜率存在时,由(Ⅰ)知122332232xxktkkt,2212123221()2222yyxxktktttttt,2222222121222222949443(22)11()()(3)2244442xxyykktomttttt2222222222224(32)6(1)6(22)21(1)2(2)(23)ktktPQkkttt2222211(23)25(3)(2)44OMPQtt≤,当且仅当221132tt,即6t时等号成立,即OMPQ52。综上可知OMPQ的最大值为52。另证1:222222121212121[()()][()()]4OMPQxxyyxxyy22222121212121{[()()][()()]}16xxyyxxyy4/522222212121125()(32)444xxyy,即52OMPQ另证2:222222121212124()()()()OMPQxxyyxxyy222212122[()()]2(32)10xxyy224252OMPQOMPQ,即52OMPQ,当且仅当25OMPQ时等号成立。故OMPQ的最大值为52。另证3:设设3cos,2sin,P3cos,2sinQ,则11(3(coscos),2(sinsin))22M由(Ⅰ)知()2kkZ,22222243(coscos)2(sinsin)3(coscos)2(sinsin)OMPQ22226(coscos)4(sinsin)22226(cossin)4(sincos)10224252OMPQOMPQ,即52OMPQ当且仅当25OMPQ时等号成立。故OMPQ的最大值为52。(Ⅲ)假设曲线C上存在三点,,DEG,使得62ODEODGOEGSSS,由(Ⅰ)知2222223,3,3DEEGGDxxxxxx,2222222,2,2DEEGGDyyyyyy.解得22232DEGxxx,2221DEGyyy,因此,,DEGxxx只能从62中选取,,,DEGyyy只能从1中选取,5/5因此,,DEG只能从6(,1)2中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,这与62ODEODGOEGSSS相矛盾,故曲线C上不存在三点,,DEG,使得62ODEODGOEGSSS。另证:由(Ⅰ)另证2可知,若62ODEODGOEGSSS,则向量,,ODOEOG两两所成的角均为2,则必有三点,,DOE、或三点,,DOG、或三点,,EOG共线,这与62ODEODGOEGSSS矛盾。故曲线C上不存在三点,,DEG,使得2ODEODGOEGmnSSS。试题推广已知动直线l与曲线C:221(0,0)xymnmn交于11,,Pxy22,Qxy两不同点,且OPQ的面积2OPQmnS,其中O为坐标原点.(Ⅰ)证明:2212xx和2212yy均为定值;(Ⅱ)若线段PQ的中点为M,则OMPQ的最大值为m与n的算术平均数。(Ⅲ)曲线C上是否存在三点,,DEG,使得2ODEODGOEGmnSSS?若存在,判断DEG的形状;若不存在,请说明理由.通过上述推广可以看出,此题的结论不仅仅局限于焦点在x轴上的椭圆有,对于焦点在y轴上的椭圆也有,甚至圆也有类似的结论,但若曲线C表示圆时第(Ⅱ)问不再是最大值,而是一定值(圆的半径)。对于本试题的推广的证明可以仿照上述高考试题的求解进行解决(请读者自行证明或求解),在此不再给出证明或求解。