一题多解专题九一题多解例谈轨迹方程常用的基本方法

一题多解专题九：求轨迹方程常用的基本方法例:由圆922yx外一点)12,5(P引圆的割线交圆于BA、两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。分析1（直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法1如图4－2－3，设弦AB的中点M的坐标为),(yxM，连接OMOP、，则ABOM，在OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有.169)12()5(2222yxyx整理，得.012522yxyx其中.33x分析2（定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法2因为M是AB的中点，所以ABOM，所以点M的轨迹是以||OP为直径的圆，圆心为)6,25(,半径为,2132||OP该圆的方程为：222)213()6()25(yx化简，得.012522yxyx其中.33x分析3（交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法3设过P点的割线的斜率为,k则过P点的割线方程为：)5(12xky.ABOM且过原点，OM的方程为.1xky这两条直线的交点就是M点的轨迹。两方程相乘消去,k化简，得：.012522yxyx其中.33x分析4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。解法4设过P点的割线方程为：)5(12xky它与圆922yx的两个交点为BA、，AB的中点为M.解方程组,912)5(22yxxky图4－2－3PMBAOyx利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M点的轨迹方程为：.012522yxyx其中.33x分析5（代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M的坐标),(yx与两交点),(),(2211yxByxA、通过中点公式联系起来，又点、、MPBA、构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法5设),,(),,(),,(2211yxByxAyxM则.2,22121yyyxxx.9,922222121yxyx两式相减，整理，得.0))(())((21121212yyyyxxxx所以,21211212yxyyxxxxyy即为AB的斜率，而AB对斜率又可表示为,512xy,512yxxy化简并整理，得.012522yxyx其中.33x简评上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P且与二次曲线C交于BA、两点，求AB中点M的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用ABPMkk可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。