一题多解专题四利用正(余)弦定理判断三角形形状

一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：ARasin2，Cabcbacos2222等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A+B＝2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如bcacbARaA2cos,2sin222等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.例：在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC，试判断△ABC的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.方法一：由正弦定理得bcBCsinsin，∵2cosAsinB=sinC，bcBCA2sin2sincos，由余弦定理的推论得bcacbA2cos222∴bcbcacb22222，化简得2222cacb，∴a=b；又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴abcba3)(22，化简得22234bcb，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC是等边三角形.方法二：∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)，又2cosAsinB=sinC，∴2cosAsinB=sin(A+B)，∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin(A-B)=0，∵A,B∈(0,π)，∴A-B∈(-π,π)，∴A=B，又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴abcba3)(22，即abcba222，由余弦定理的推论得2122cos222abababcbaC又C∈(0,π)，3C，又A=B，∴△ABC是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的关系；③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形.针对性练习：1.在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin2A·sinBcosB=sin2B·sinAcosA，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B.∵02A,2B2π，2A+2B2π；∴2A=2B或2A=π-2B.即A=B或A+B=2.所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形.法二：在得到sin2A=sin2B后，也可以化为sin2A-sin2B=0，∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.∵0A+Bπ，且-πA-Bπ，∴A+B=2或A-B=0，即A+B=2或A=B.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.2.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC.∵B＝60°，∴A+C＝120°,即A＝120°－C，代入上式，得2sin60°=sin(120°-C)+sinC展开，整理得：∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，∴C＝60°，故A＝60°，∴△ABC为正三角形.方法二：由余弦定理，得Baccabcos2222，∵B=60°,2cab，60cos2)2(222accaca，整理，得0)(2ca，∴a=c.从而a＝b＝c，∴△ABC为正三角形.