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章末检测一、选择题1.已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()A.3x＋2y－7＝0B.2x＋y－4＝0C.x－2y－3＝0D.x－2y＋3＝0答案D解析将圆C的一般方程化成标准方程为(x－2)2＋y2＝9，∴C(2,0).由题意知，过点P(1,2)的最短弦所在的直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1.由kPC＝2－01－2＝－2，得kl＝12.∴直线l的方程为y－2＝12(x－1)，即x－2y＋3＝0.2.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于()A.0B.1C.2D.3答案A解析联立y＝kx＋1，x2＋y2＋kx－y－9＝0，得(1＋k2)x2＋2kx－9＝0.设直线与圆的两交点的横坐标为x1，x2.∵x1，x2关于y轴对称，∴x1＋x2＝－2k1＋k2＝0，∴k＝0.3.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为()A.2B.－8C.2或－8D.8或－2答案C解析由空间中两点的距离公式，得(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝(86)2.解得x＝2或x＝－8.4.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A.外离B.相交C.外切D.内切答案B解析由圆的方程，知O1(1,0)，O2(0,2)，r1＝1，r2＝2.所以|O1O2|＝－2＋－2＝5.又因为|r1－r2|＜5＜r1＋r2，所以两圆相交.5.已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为()A.32B.34C.25D.655答案D解析该圆的圆心为A(2，－3)，半径长r＝3，圆心到直线的距离d＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r2－d2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S＝12×4×35＝655.6.若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是()A.2x＋y－3＝0B.x＋y－1＝0C.x－y－3＝0D.2x－y－5＝0答案C解析设圆心为C，则C点坐标为(1,0)且AB⊥CP，kCP＝－1－02－1＝－1，∴kAB＝1，直线AB的方程为y＋1＝x－2即x－y－3＝0.7.过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A.4B.2C.85D.125答案A解析P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝4－1－2－2＝－34，∴kl＝43.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为|20|42＋－2＝4.8.直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是()答案B解析由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.∵圆M过原点(0,0)，∴排除A，C选项.选项B，D中，圆心M(a，－b)在第一象限，∴a＞0，b＜0，∴直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合.9.若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是()A.5－5B.5－5C.30－105D.无法确定答案C解析设P(x，y)是圆C上一点.配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为C(1，－2)，半径r＝5.∵x2＋y2＝x－2＋y－2，∴要使x2＋y2最小，则线段PO最短.如图，当点P，O，C在同一直线上时，|PO|min＝|PC|－|OC|＝5－12＋－2＝5－5，即(x2＋y2)min＝30－105.10.当曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A.0，512B.13，34C.512，34D.512，＋∞答案C解析曲线y＝1＋4－x2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即|－1－2k0＋4|1＋k20＝2，k0＝512.直线PA的斜率为k1＝34.所以，实数k的取值范围是512k≤34.二、填空题11.已知M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，则过点M的最长的弦所在直线方程为________.答案x－y－3＝0解析因为直径是圆的最长的弦，所以圆心(4,1)在所求的直线上.所以所求的直线方程为y－01－0＝x－34－3，即x－y－3＝0.12.对于任意实数k，直线(3k＋2)x－ky－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系是________.答案相切或相交解析∵(3x－y)k＋2x－2＝0，∴直线恒过点(1,3).又∵点(1,3)在圆上，∴直线与圆相切或相交.13.以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________.答案x2＋y2＝25解析原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.14.过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________.答案y＝2或5x－12y＋9＝0解析由圆的方程可知，圆心为(－2,1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，由|－2k－1－3k＋2|k2＋－2＝1，解得k＝0或k＝512，所以所求直线的方程为y＝2和5x－12y＋9＝0.三、解答题15.已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.解(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)当弦AB被点P平分时，直线l垂直于PC，直线l的方程为y－2＝－12(x－2)，即x＋2y－6＝0.16.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R).(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长.解(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又12＋－2＝15，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交.(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan120°＝－3，即m＝－3.此时，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－3－1＝0的距离d＝|－3|32＋12＝32，又圆C的半径r＝5，所以|AB|＝2r2－d2＝25－322＝17.17.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.解(1)将圆C整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y＝kx，∴圆心到切线的距离为|－k－2|k2＋1＝2，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±6.∴切线方程为y＝(2±6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为0时，设切线方程为x＋y－a＝0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a|2＝2，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1.∴切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上所述，所求切线方程为y＝(2±6)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)∵|PO|＝|PM|，∴x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上.当|PM|取最小值时，|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.联立方程组2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，解得x＝－310，y＝35，∴点P的坐标为－310，35.18.如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点.(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)因为点M的坐标为(3，1)，所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径长为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径长为r，连接MA，NC，OM，如图所示，则MA⊥x轴，NC⊥x轴.由题意，知点M，N都在∠COD的平分线上，所以O，M，N三点共线.由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，即23＋r＝1r⇒r＝3.则|OC|＝33，N(33，3)，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝3－133－3(x－3)＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝|33－3×3－3|1＋32＝32，则弦长为2r2－d2＝33.