《义务教育课程标准实验教科书数学》七年级上册相关数学史知识介绍

《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册相关数学史知识介绍课程教材研究所林立军每一学科都有它的历史，数学也概莫能外。然而，和其他自然科学相比，数学有其独特之处。一百多年前，德国数学史家汗克尔（H.Hankel，1839-1873）就形象地指出过数学和其他自然科学的显著差异。他写道：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添砖加瓦。”可以说，数学是积累的科学，它本身就是历史的记录。或者说，数学的过去溶化在现在与未来之中。鉴于此，本套书力求成为一面“镜子”，返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻内涵以及科学文化的进步。为此，本套书在编写过程中溶入了一些数学史料和简略的数学史知识，以使学生开阔视野，启发思维，增加学习兴趣。为了使教师对书中所涉及到的数学史知识有更深入和较全面的了解，本文对七年级上册相关数学史知识予以相当介绍，以飧广大教师朋友。负数符号最早认识并使用负数的是古代中国人，成书于公元1世纪的《九章算术》中就记录了负数及其运算法则。在进行筹算时，用红筹表示正数，黑筹表示负数。因为用笔记录时换色不便，一千多年后，数学家李冶（1192-1279）首创了在数字上加斜杠表示负数。如图1所示表示，可以说，这是世界上最早的负数记号。图1西方对负数的认识较晚，15世纪后才正式应用负数，使用的符号也是五花八门。例如威尔金斯1800年用表示；温特非尔德1809年用前加“┥”或“”表示该数为负数。1832年，W.波尔约用“”表示负数。后来又出现多种形式表示负数，如表示负数，相应的表示正数；以为负，为正；为负，为正。直到本世纪初，美国数学家亨廷顿（E.V.Huntington，1874.4-1952.11）才开始采用接近现代形式的符号：，逐渐成为现代的形式。绝对值符号现在通用的绝对值符号“||”，是德国数学家外尔斯特拉斯（K.T.W.Weierstrass，1815-1897）在1841年率先引用的，后来为人们所广泛接受。符号“||”的含义是，在实数范围内示向量的长度，有时把这个长1905年，甘斯用这个符号表度也就叫做绝对值。外尔斯特拉斯已经指出，复数的绝对值是它的“模”，用向量解释复数，“模”、“绝对值”、“长度”都是一致的。可见甘斯符号的合理性，因而一直沿用到现在。幻方将1到的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括两条主对角线的n个数的和（或连乘积）都相等[等于]，这种排列称为阶幻方，也叫阶纵横图。纵横图的起源可以追溯到公元前2200多年。相传，我国大禹治水时，发现一个神龟，背上刻有图案，称“为洛书”（图2），表示神赐给他的一种旨意。与此有关的传说具有很强的神秘色彩。上面的这个图案用阿拉伯数码表示，就是一个如下的三阶纵横图：492357816图2中国东汉学者郑玄（127-200）注易纬《乾凿度》中有“太一取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”，大意是：太一神依照一定顺序巡行于九宫，九个位置的图案所显示出的数字表明太一神巡行的次第。因此古代中国人也称三阶纵横图为九宫数或九宫图。如北周学者甄鸾（535年左右）注《数术记遗》中说：“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。与前面的龟文暗合。我国历代学者对纵横图都有过许多研究。“纵横图”一词最早出现在南宋杨辉（约十三世纪中叶）所著的《续古摘奇算法》（1275）之中。杨辉在书中还给出了三至十阶的纵横图及其变体共13种。中世纪的阿拉伯学者对纵横图也有研究。1956年，西安出土了1278年阿拉伯学者扎马鲁丁为西安王推算历法期间用“东阿拉伯数字”所做的铁制六阶纵横图，见图3。用现代的阿拉伯数码表示如图4：图3图4在欧洲，纵横图的造法大约开始于14世纪。1514年，德国著名的大画家兼数学家丢勒（A.Dürer，1471-1528）雕刻了一副名为《忧郁》的钢板画，画中有一个四阶幻方，如下：16321351011896712415141这个纵横图不但行、列、对角线上的各个数字之和都是34（欧洲人称之为神秘的常数），而且把这个幻方四等分后，得到的每一部分的四个小方图的数字之和也等于34。此外，丢勒还独具匠心，精心巧妙地设计了一个小秘密，即在方图的最下面中间两个数15，14，连在一起恰好是绘画的年代1514，实在是“幻中之幻”。1878年这个四阶纵横图在英国人傅兰雅传入中国。事实上，200多年前中国的数学家杨辉就已经得到了这个纵横图。数学家欧拉（L.Euler，1707-1783）和凯莱（A.Cayley，1821-1895）都曾指出，纵横图不仅仅是一种数学游戏，也有研究价值。现在，人们已经发现各种各样的纵横图，如广义幻方，双重幻方、同心幻方、分块幻方、质数幻方、三维幻方等等。中国古人对纵横图的研究是组合数学发展初期的重要内容，现在，纵横图仍然是组合数学的研究课题。“方程”一词的由来中国古代数学著作《九章算术》第八卷的卷名为“方程”，这是“方程”一词的最早出处。但古代方程的含义与现代方程的含义有着较大的差别。本卷的第一题导致一个线性方程组，现代写法如下：。284331351036182124111723121722308132619162952015142532273334629中国古人在解题时把数据排成如图5的长方形（图6为现代的写法，即所谓的增广矩阵），图5图6《九章算术》的作者称为方程，这种解题方法称为“方程术”，这是汉语“方程”一词的开始。此题的术文记录了两千年前我国列线性方程组和解线性方程组的全过程，它相当于严谨的矩阵初等变换法。方程术的基本思想是顺序消元，把增广矩阵一再用初等变换进行变换，使系数矩阵成为单位矩阵，从而得解。这种方法就是现在的高斯消去法。现代意义上的列方程和解方程在我国古代称为“天元术”，这个方法大约在十三世纪出现在我国北方的数学界。李冶的《侧圆海镜》，《益古演段》，朱世杰（1300前后）《算学启蒙》、《四元玉鉴》都是十三、十四世纪的著作，他们用“天元术”来解决列方程的问题。什么是天元术？首先根据题意“立天元一为某某”，与现代数学中“设为某某”意义相同。其次再根据问题所设条件列出两个相等的多项式，两者相减，就得出一个一端为零的方程。多项式的天元术记法相当于现代所谓的分离系数法：多项式按其各项幂的次数高低，自上而下直行书写，用中国数码字只记其相应系数，在一次项右边写一元字，常数项右边写一太字。例如，多项式的写法记为：中国古代求得的多项式方程的解都是正的数值解，多项式方程数值解法的历史可以追溯到《九章算术》中的开方术。在筹算开平方和开立方的基础上，我国从十一世纪开始逐渐摸索到数值解高次方程的一般规律，得到所谓的“增乘开方法”。增乘开方法至秦九邵（约1202—1261）的《数术九章》而大备，在《侧圆海镜》中，李冶对此方法有新的创见。在西方，数学家霍纳（W.G.Horner，1786—1837）也得到了该方法，但是已经比秦九邵晚500多年了。古埃及纸草书非洲东北部的尼罗河流域，是古代文明的发祥地之一，尼罗河孕育了古埃及的文化。在公元前3500—3000年间，在尼罗河下游建立了一个统一的国家，以后埃及的历史主要按统治的朝代命名。古埃及人在长期的生产实践和与自然斗争的过程中，逐渐掌握了丰富的科学知识。土地的丈量、商品的交易以及大规模宫殿和金字塔的建造，无疑都要使用较高深的数学。目前，我们对古埃及数学的认识，主要根据两本用僧侣文写成的纸草书：一本是伦敦本，一本是莫斯科本。1858年，在底比斯的拉美西斯神庙附近的一座小建筑物的废墟中发现了一卷纸草书，为英国人莱因德所购得，他死后归伦敦大英博物馆所有。后来称为“莱因德纸草书”，抄写者为阿梅斯，原作者不详。莱因德纸草书产生的年代，有好几种说法，多数学者认为是公元前1650年。另一本叫做“莫斯科纸草书”，由俄罗斯收藏者戈列尼谢夫在1893年购得。1912年收藏在莫斯科国立造型艺术博物馆。这本纸草书的产生年代大约在公元前1850左右，比莱因德纸草书的产生要晚，但重性要稍逊于莱因德纸草书。丢番图丢番图是古希腊数学家，生平不详。主要活动年代是根据11世纪拜占廷学者普赛勒的一封信来确定的，其中提到丢番图在三世纪中叶的某些学术交往。另一线索见于四世纪希腊文选上的一首脍炙人口的短诗：“丢番图的一生，幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又过了七分之一方结婚，五年后得子，子先父4年而卒，仅为父寿之半”。由此可推知他终年为84岁。《算术》一书是丢番图的代表作，是数学历史上的一部重要著作。丢番图的特点是使问题的求解完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。《算术》一书成为世界最早的系统数学专著之一。对后来的阿拉伯数学，文艺复兴时期的意大利数学乃至整个欧洲的数学产生了巨大的影响，也为包括韦达、费马、高斯在内的许多数学家提供了创作源泉。