YXY8等参单元

第八章等参数单元第二节平面等参元第一节等参元的概念返回第三节空间等参元第四节高斯积分法简介第五节计算实例第一节等参元的概念前面几章介绍的三角形单元和四面体单元，其边界都是直线和平面，对于结构复杂的曲边和曲面外形，只能通过减小单元尺寸，增加单元数量进行逐渐逼近。这样，自由度的数目随之增加，计算时间长，工作量大。另外，这些单元的位移模式是线性模式，是实际位移模式的最低级逼近形式，问题的求解精度受到限制。为了克服以上缺点，人们试图找出这样一种单元：一方面，单元能很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，这种单元要具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。等参数单元（等参元）就具备了以上两条优点，因此，得到广泛应用。返回等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元。一、形函数在前面几章的介绍中，对于单元形函数的确定，首先假设单元的位移模式，代入结点的位移和坐标，从而推导出单元的任意一点的位移插值函数，即形函数。实际上，形函数是定义在单元内部的、满足一定条件的、坐标的连续函数。形函数不仅可以用于单元位移函数的插值，还可以用于单元形状的变换。形函数应满足的条件是：返回Ni1Ni0(8-1)1.在结点i处，在其他结点处；2.能保证用它定义的未知量（位移或坐标）在相邻单元之间的连续性；Ni1(8-2)3.应包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足常应变条件；应满足下列等式以保证用它定义的单元位移能反映刚体位移。返回NN121212NNN123212121二、母单元首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形状简单且规整的单元，我们称之为母单元。1.一维母单元采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下：1）线性单元（2结点）2）二次单元（3结点）(8-3)(8-4)返回NNNN12223241911619116911316911161-1201322-110(a)线性单元(b)二次单元3）三次单元（4结点）(8-5)图8-1一维母单元(8-5)图8-1一维母单元返回1111如图8-2所示，坐标原点在单位形心上。单元边界是四条直线：，。为保证用形函数定义的未知量在相邻单元之间的连续性，单元结点数目应与形函数阶次相适应。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边的结点数分别为两个、三个和四个。除四个角点外，其他结点位于各边的二分点或三分点上。112.二维母单元二维母单元是平面中的2×2正方形返回NNNN1234114114114114图8-2二维母单元(a)线性单元(b)二次单元1234o1234o87561)线性单元（4结点）(8-6)返回Ni1140000iiNi141110000Ni121120Ni121120以上形函数也可以合并表示为（i=1,2,3,4）(8-7)其中(8-8)2)二次单元（8结点）角点：边中点：（i=1,2,3,4）（i=5,6）(8-9)（i=7,8）返回Ni132119100022Ni9321119020Ni93211190203)三次单元（12结点）角点：（i=1,2,3,4）边三分点：（i=5,6,7,8）(8-10)（i=9,10,11,12）返回111111图8-3三维母单元(a)线性单元(b)二次单元7321456891011121314151618192017587321463.三维母单元三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体如图8-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。单元结点在角点及各边的等分点上。1)线性单元（8结点）(8-11)返回Ni181112000000iiiiN01114111200,,;Ni164111919000222iiiiN1311964119112000,,;2)二次单元（20结点）角点：典型边中点：(8-12)3)三次单元（32结点）角点：典型边中点：(8-13)返回三、坐标变换以上介绍的这些单元可以直接用来进行有限元分析，其单元特性可以按照前面几章中讲述的步骤进行。但是这些单元形状规整，难以适应实际工程中出现的各种结构的复杂形状。为了解决这个矛盾，需要用坐标变换的方法，把形状规整的母单元，转换成具有曲线（面）边界的形状复杂的单元。转换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。这样，对于一个实际结构，就可以采用各种形状复杂的子单元在整体坐标系中进行划分，来逼近其复杂的曲线或曲面边界。而每个子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐标系下的规整单元，即母单元，计算比较简单。,,xyz,,为了进行坐标变换，必须在局部坐标和整体坐标之间建立一一对应关系。这种对应关系可以利用形函数建立起来。返回xNxNxNxyNyNyNyiiii,,,,,,112211221.平面坐标变换在整体坐标系中，子单元内任一点的坐标用形函数表示如下(8-14)其中，是用局部坐标表示的形函数，是结点i的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。图8-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。图8-5表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形，子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相返回31-1120(a)线性单元0xy123(b)二次单元邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即相邻单元是连续的。图8-4一维单元的平面坐标变换返回（a）母单元（b）子单元图8-5二维单元的平面坐标变换1234o87560xy231546781111返回7=1=1=1321456891011121314151618192017=-1=-1=-1xyz12345681091112131415161817192070（a）母单元（b）子单元图8-6空间坐标变换返回xNxNxNxyNyNyNyzNzNzNziiiiii,,,,,,,,,,,,,,,,,,1122112211222.空间坐标变换空间坐标变换公式如下(8-15)其中：是用局部坐标表示的形函数，为结点i的整体坐标。经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线；原来的平面将变成空间曲面；而原来的空间正六面体则将变成曲面六面体，如图8-6所示。同样可证明相邻子单元在整体坐标下是连续的。返回3.两类坐标系的关系,,xyz,,以上坐标变换式给出了局部坐标和整体坐标之间的一一对应关系。如果给定了局部坐标的值，则可以求出整体坐标的对应值，反之亦然。,,,,xyz,,,,xyz,,xyz,,xyz,,,,从图形变换的角度看，和可以分别看成是母单元和子单元这两个不同单元的坐标系，它们都是直角坐标系。而从另一角度看，和又可以看成是同一单元（子单元）的两种不同的坐标系。是子单元的直角坐标系，而可看成是子单元的曲线坐标系。可以看出始终扮演同一角色，即子单元的直角坐标；而则扮演两种角色，它既是母单元的直角坐标，又是子单元的曲线坐标。xyz,,在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。返回xxyyxxyyJxy,,而曲线坐标系则只适用于单个独立的子单元，所以称为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单元分析中采用。现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标为例：根据复合函数的求导法则，有(8-16)上式可写成矩阵形式(8-17)返回其中：[J]称为雅可比（Jacobi）矩阵(8-18)式（8-17）表示的是由和推导，的变换式，其逆变换式为(8-19)JxyxyxyJ1返回JJyyxx11Jxyxyxyxy其中，[J]-1是[J]的逆阵(8-20)(8-21)返回uNuNuNuvNvNvNvwNwNwNwiiiiii,,,,,,,,,,,,,,,,,,112211221122四、等参元在有限元分析中，定义一个单元需要确定其几何形状以及位移分布。以上已经建立了各种子单元的几何形状，还需要假设其内部的位移分布情况。子单元的位移模式可用形函数表示如下(8-22)用矩阵表示为返回eNwvuwvuNNNNNNwvuf222111111111000000000000(8-23)其中：为用局部坐标表示的形函数，是整体坐标下的结点位移。xyziii,,Ni,,比较子单元的坐标变换式和位移模式，两者都利用了形函数，它们可以是局部坐标的一次、二次、三次甚至更高次的函数。坐标变换式是根据结点的坐标和形函数返回来确定单元的几何形状；位移模式是根据结点的位移和形函数来确定单元的位移场。如果单元坐标变换式和位移模式所用的形函数的阶次相等，即用于规定单元形状的结点数等于用于规定单元位移的结点数，那么这种单元就称为等参数单元（等参元）。在等参元中坐标变换和位移模式一般使用相同的结点。可以看出如果等参元中采用高阶形函数，则单元的位移模式是高阶的，且单元可以具有复杂的外形。uvwiii,,Ni,,如果单元坐标变换所用的形函数的阶次高于位移模式所用的形函数的阶次，即用于规定单元形状的结点数多于用于规定单元位移的结点数，这种单元就称为超参数单元（超参元）；反之，如果单元坐标变换所用的形函数的阶次低于位移模式所用的形函数的阶次，单元就称为逊参数单元（逊参元）。返回uxyz1234vxyz5678wxyz9101112uxyziii1234为了保证等参元的解答收敛于精确解。位移模式必须保证完备性（包含刚体位移和常应