全国高中理科试验班招生物理试题归类分析

中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网全国高中理科试验班招生物理试题归类分析教育部举办的全国高中理科试验班每年从各省市初中数学、物理竞赛成绩优异者挑选学生．入学考试题灵活，内涵深，难度也较大．考试题由全国四所著名高校的附中所命，但物理考试题每年均未给出具体解答．在解答历年考试题的过程中，笔者认为对历年考试题作适当地归类和分析，这对增强物理学科的教学研究，引导学生的思维开放，培养和发掘学生分析和解决问题的潜在素质，以及对教师指导学生的竞赛培训，对有志参加理科班选拔的学生均有裨益．本文拟从考题中所涉及的等效、对称、极值、隔离与整体、定义与基本概念等内容进行归类与分析．一、等效概念的应用此类题的题型往往较新颖，解法也较灵活．例1（2000年第一试第33题）一对火线和零线从一堵正方形墙上走过，墙的正中央开了一扇正方形木窗（如图1）．火线在A处和零线在B处发生漏电，如果测得流过下边墙上的电流约200ｍＡ，那么总的漏电电流约为________________ｍＡ．例2（1998年第一试第19题）正方形薄片电阻片如图2所示接在电路中，电路中电流为I；若在该电阻片正中挖去一小正方形，挖去的正方形边长为原电阻片边长的三分之一，然后将带有正方形小孔的电阻片接在同一电源上，保持电阻片两端电压不变，电路中的电流Ｉ′变为________________．分析两题所给出电路的情景结构有新意，若能用等效电阻概念进行分析，问题的解答将变得容易．对于例1，漏电电流的大小是由A、B间的漏电电阻决定的，其电阻值可看做是自A经窗户上沿的墙至B的漏电电阻Ｒ上与自A经窗户的左墙到下墙，再经右墙至B处的漏电电阻Ｒ下的并联值，即Ｒ漏＝（Ｒ上·Ｒ下／Ｒ上＋Ｒ下）＝（Ｒ·3Ｒ／Ｒ＋3Ｒ）＝（3／4）Ｒ．由分流公式Ｉ下＝（Ｒ上／Ｒ上＋Ｒ下）Ｉ总＝（Ｉ总／4），得总漏电电流为Ｉ总＝800ｍＡ．对于例2，由于薄片两边嵌金属片，将正方形薄片的电阻可等效为图3所示．设每小块的电阻为R，则薄片总电阻是3个3R电阻的并联值，其值也是R．现从中挖出一块，此时薄片等效电阻如图4所示．显然其阻值是（7Ｒ／6），故Ｉ′＝Ｕ／（7Ｒ／6）＝（6／7）Ｉ．图3图4中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网下面用等效概念再分析一道灵活性较强的试题．例3（1995年第二试第7题）三个相同的金属圆环两两正交地连接成如图5所示形状．若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为ＲＡＢ．今将A、B间一段金属丝改换成另一个电阻为Ｒ／2的一段四分之一圆周的金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率?分析用常规的混联电路计算模式去解答，显然不易凑效．由等效电阻的概念，可设去掉A、B间一段四分之一圆周的金属丝后剩余部分电阻为Ｒｘ，则ＲＡＢ可等效为Ｒｘ与R的并联值．即ＲＡＢ＝Ｒ·Ｒｘ（／Ｒ＋Ｒｘ），Ｒｘ＝ＲＲＡＢ／（Ｒ－ＲＡＢ）．现将Ｒ′＝（Ｒ／2）电阻丝并在A、B端，从A、B端看进去，此时电阻为Ｒ总＝ＲｘＲ′／（Ｒｘ＋Ｒ′）＝ＲＲＡＢ／（Ｒ＋ＲＡＢ），电流所消耗的功率为Ｐ＝（Ｕ２／Ｒ总）＝Ｕ２（Ｒ＋ＲＡＢ）／（Ｒ·ＲＡＢ）．其实2000年也有过这样类似的考题．有些问题粗看不易求解，若改变一下思考问题的角度，借助等效类比，答案有时信手即来．我们再分析一道较难、较复杂的考题．例4（1996年第二试第19题）某电路有8个节点，每两个节点之间都连有一个阻值为2Ω的电阻，在此电路的任意两个节点之间加上10Ｖ电压，求电路各支路的电流及电流所消耗的总功率．（要求画出电路图）分析电路有8个节点且每两个节点间又以相同阻值的电阻相互连接，故电路中的支路多，电路显得复杂．所以该题的第一个考点是画出电路图．据题意可知对每个节点，它们与外电路连接的结构方式相同，若把这8个节点等分放置在具有轴对称的圆周上，然后把圆上的每一分点依次同其余7个分点相连，得电路结构图如图6（ａ）所示．图6由题意知电源是加在任意两节点间，设电源加在点A、B即图6（ａ）中的1、2两点间．这时余下的6个节点与A、B端连接的结构方式完全相同，故此6个节点对电源两端的电势相等，我们知道等电势点间无电流流通，这样可把等电势点间相接的2Ω电阻都去掉，最后可得等效电路如图6（ｂ）所示．因为1／ＲＡＢ＝1／Ｒ１２＋（1／2Ｒ）×6＝（4／Ｒ）．则ＲＡＢ＝0．5Ω．中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网流经Ｒ１２的电流为（ＵＡＢ／Ｒ１２）＝5A，流经其余6个节点电流均为（ＵＡＢ／2Ｒ）＝2．5A．电路消耗总功率为Ｐ＝（Ｕ２／ＲＡＢ）＝200Ｗ．尽管支路密如网状，但借轴对称圆可方便画出电路结构图；注意电路的对称性和等电势可得到简单的等效电路图，问题的最后解决也就不复杂了．二、对称性概念的应用对称性分析在电路中有重要应用，在光学考题，特别是关于镜面成像，更要注意它的应用．例5（1997年第二试第15题）如图7（ａ）所示，两面竖直放置的平面镜互成直角，一只没有数字的钟为3点整，在A处的人向O点看（）图7A．看见九点的钟；B．看见三点的钟；C．能看见钟，但指针位置不正常；D．根本看不见钟．例6（1996年第二试第3题）一光学系统如图8（ａ）所示，A为物平面，垂直光轴，L为凸透镜，M为与光轴成45°角的平面镜．像平面P垂直于经平面镜反射后的轴．图8（b）为同一光学系统的实物图．设物为A面上的一个“上”字，在像平面P上能得到物体的清晰像，试在图8（b）中的像平面P上画出像的形状．图8分析例5是平面镜成像，规律是物、像左右对称；例6先是凸透镜成像，其规律是像是绕光轴旋转180°的倒立实像．对于例5题，如图7（b）所示，Ｓ１是钟表Ｓ关于镜M１所成的像，像是9点整的钟表；现Ｓ１处在Ｍ２镜前，所以Ｓ１在Ｍ２镜后还要继续成像为Ｓ２，在A处的人向O点看，看到的是3点整的钟表．对于例6题，如图8（c）所示，假设无平面反射镜M，像平面应放在Ｐ′处，像平面Ｐ′上的像相对物恰好以光轴旋转180°．现在像方空间增加平面镜，光轴被弯折90°成像在P平面，依对称性Ｐ′上的假想像与P上实际像应关于镜面M对称（把Ｐ′与P平面上的像逆着光轴推移到M处，两像应完全重合），最后的成像如图8（c）像平面P上像的形状．用作图来处理例6题，显然是不方便的，注意成像的对称性原则，思路就十分清晰和明朗．中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网例7（1994年第二试第4题）平面镜M、N互成φ角放在水平桌面上，它们均与桌面垂直．如图9所示，放在两镜面前的点光源S（图中未标出），随着它位置的变化，既可能在M、N两镜中共成3个像，也可能在两镜中仅成2个像．求：图9（1）M、N之间夹角φ至少多大?（2）在图中画出并标明仅能成2个像和仅可成3个像的区域，说明仅可成2个像区域的形状及范围．分析由例5题分析可知：若处在两镜间光点对一镜所成的像点是处在另一镜的前面，则该像点对另一镜还可继续成像，直至最后的像点落在两镜的镜面之后，成像才终止．考虑到对称性，对两镜以其交点O为圆心作一圆周，如图10所示．若两镜的夹角φ恰为120°，光点S又恰在角平分线上，S对M镜的像点Ｎ′恰落在N镜的反向延长线上；S对N镜的像点Ｍ′恰落在M镜的反向延长线上．这种情况S对两镜只能成两个像；若光点不在角平分线上，而是在其它区域，则可成3个像．如图10所示，Ｓ１是光点Ｓ关于M镜所成的像，Ｓ２是光点S关于N镜所成的像，Ｓ３是像点Ｓ２关于M镜所成的像．图10若两镜的夹角φ大于120°，光点S对M镜成像的像点如果恰落在N镜的反向延长线上的Ｎ′点，则光点S应放在图11中的Ｎ″点处．类似前面分析知：当光点处于∠ＭＯＮ″的区域以内时，它可在两镜面成3个像，同理光点处于∠ＮＯＭ″的区域以内时也成3个像．当光点在∠Ｎ″ＯＭ″区域内时只能成两个像．如图11所示，当光点S放在Ⅰ、Ⅲ区域对两镜成3个像；放在Ⅱ区域时成2个像．图11中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网在图11中，∠Ｎ′ＯＭ＝180°－φ＝∠ＭＯＮ″＝∠ＮＯＭ″＝θ，故区域Ⅱ的范围为∠Ｍ″ＯＮ″＝180°－3θ＝3φ－360°．三、极值概念的应用如何运用数学原理处理物理极值问题，这是考题每年都会涉及的问题．将其类型可归纳为：二次函数的极值型；用一元二次方程根的判别式而求解的极值型；求解矢量三角形最短边的极值型；由三角函数而求解的极值型，1．用二次函数求解的极值型例8（1997年第二试第二部分第3题）如图12所示，电路中电源电压为9Ｖ，Ｒ０＝0．2Ω，Ｒ１＝2Ω，Ｒ２＝3Ω，总电阻Ｒ′＝5Ω．当滑动触头P由a端滑向b端时，电流表的变化范围是多少?图12解设ＲＰａ＝Ｒｘ，则ＲPb＝Ｒ′－Ｒｘ，对电源而言，电路总电阻为Ｒ总＝Ｒ０＋（Ｒ１＋Ｒｘ）（Ｒ２＋Ｒ′－Ｒｘ）／（Ｒ１＋Ｒ２＋Ｒ′），代入数值，得Ｒ总＝－0．1Ｒｘ２＋0．6Ｒｘ＋1．8．由二次函数极值条件（y=ax２＋bx+c,当x=-（ｂ／2ａ）时，y极值＝（4ac-b２）／4a，即Ｒｘ=－0．6／（2×（－0．1））Ω＝3Ω，有Ｒ总极大＝（4×（－0．1）×1．8－0．6２／4×（－0．1））Ω＝2．7Ω，电流有极小值Ｉ极小＝（Ｕ／Ｒ总极大）＝3．3ａ．当P滑至a端，Ｒｘ=0，此时Ｒ总有最小值1．8Ω，故Ｉ最大＝（Ｕ／Ｒ总最小）＝5ａ．Ｐ滑至b端时，有Ｒｘ＝5Ω，Ｒ总＝2．3ａ，Ｉ＝3．9ａ．在整个滑动过程中，电流表示数由5ａ减小到3．3ａ，然后又增至3．9ａ，其变化范围为3．3～5ａ．中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网年第二试第5题和1997年第一试第10题都是此类型极值题．2．用一元二次方程根的判别式求解的极值型例9（1997年第一试第一部分第4题）如图13所示装置，O为杠杆OA的支点，在离O点处挂着一个质量为M的物体．每单位长度杠杆的质量为m，当杠杆的长度为________时，可以用最小的力F维持杠杆平衡．图13解设杆长为L，由力矩平衡方程，得我们再分析一道这种类型的电学题．例10（2000年第二试第4题）在如图14所示的分压电路中，电压U恒定不变，滑动变阻器的总阻值Ｒ＝100Ω．要求滑动触头P在上下移动的过程中，负载ＲＬ上电压ＵＬ始终不低于空载（即不接ＲＬ）时输出电压的90%，那么ＲＬ的最小值应是________Ω．图14中学学科网学海泛舟系列资料上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料版权所有@中学学科网解设P滑至某一位置时，滑动变阻器R的下端电阻为Ｒｘ，则其上端电阻为100－Ｒｘ，若ＵＬ能满足要求，应有为保证Ｒｘ在实数范围有解，其根判别式满足Δ≥0，即＝90２－36ＲＬ≥0，得ＲＬ≥225Ω，取最小值为ＲＬ＝225Ω．年第一试的第40题也是这种类型题．3．求解矢量三角形中最短边的极值问题在相对运动、追击一类问题的考题中，常涉及如何利用矢量的边角关系求解最短边的极值问题．例11（1996年第一试第三部分第21题）如图15（a）所示，某人站在离公路垂直距离为60ｍ的A处，发现公路上有一辆汽车由B点以10ｍ／ｓ的速度沿公路匀速前进，B点与人相距100m，那么此人至少以______________速度奔跑，才能与汽车相遇．图15分析车对地速度大小、方向确定，人对车的速度其方向确定（人始终是追随汽车而奔跑），而大小可变．由相对运动速度公式：ｖ人对地＝ｖ人