《函数单调性》的教学案例

《函数单调性》教学案例1.【案例背景】“函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。“课标”规定两个课时，所选案例为第一课时。函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，不仅要用到以前学过的函数知识，还要由这些知识出发获得函数自身的更深人的认识，并由这些认识解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。2.【教学内容分析】首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．其次，从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.3.【学情分析】高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4.【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考）【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。生1（主动回答）：0～4时，温度下降，4～14时温度上升，14～24时温度下降。问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二．借助图象，直观感知问题3：观画出y=x和2yx的函数图象，回答下面两个问题：⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？【设计意图】顺应学生的认知规律。（小组合作探求）生1：一次函数y=x其定义域上是上升的，二次函数2yx是先下降后上升。师：这样回答准确吗？生2：一次函数y=x在区间（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函数y=x2在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗？【设计意图】有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间）这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过几何画板展示y=x图象上A点的运动情况，让学生观察x，y值的变化。师（及时提问）：同学们能用数学语言把y=x图象上升的特征描述出来吗？生3：该函数随着x的值增大，y的值相应的增大。师（面向全体学生）：大家同意生4的回答吗？生4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-∞，+∞）上随着x的值增大，y的值相应的增大。师：生5补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函数2yx呢？生5：函数2yx在区间（-∞，0）上随着x的值增大，y的值相应的减小；在区间（0，+∞）上是随着x的值增大，y的值相应的增大。师：在数学上，我们把y随着x的增大而增大，称为增函数；把y随着x的增大而减小，称为减函数。三．探究规律，理性认识问题4：如何从解析式的角度说明2)(xxf在),0[为增函数？生6：因为12,(1)(2)ff,所以2)(xxf在),0[为增函数．生7：因为12345，(1)(2)(3)(4)(5)fffff所以2)(xxf在),0[为增函数．生8：不对，以上只在两个或有限个特殊值之间进行比较，不能代替所有值。师：很好，所有的都拿出来比较，能做到吗？一一列举行吗？（意图：通过这一问题，让学生联想到用字母符号来表示任意的数值）生：拿两个就行了。师：原来不都是每次拿两个来进行比较的吗？为什么不行？生（终于明白）：任意两个。师：找任意两个？怎样能做到这一点。生：用字母表示数字。师：更清晰一点说呢？生：用12,xx表示两个变量，用12(),()fxfx表示对应的函数值。师：好，请大家回想一下上述过程，试用12,xx、12(),()fxfx来刻画增函数的定义。学生尝试用符号表达单调增函数的定义，师生共同修正：任取2121),,0[,xxxx且,因为0))((21212221xxxxxx,即2221xx，所以2)(xxf在),0[为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,xx．〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.四．抽象思维，形成概念问题5：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．板书定义：函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时：若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是增函数；若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。师：你能否举出一个具体函数的例子，使它在区间(,)上对任意12xx，总有12()()fxfx生：()fxx师：你能否举出一些具体的例子，使它在区间(0)上，对任意的12xx，总有12()()fxfx生：1()fxx，2()fxx【设计意图】打通抽象与具体之间的联系。单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性；对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)，因此单调性是函数的局部性质。问题6：依据上述定义，试判断函数()1xfxx在（0，+∞）上是增函数还是减函数，并给予证明。（小组合作交流）【设计意图】让学生体会符号化，形式化的必要性。生9：老师，该函数的图象是什么？师：这位同学问得非常好，那么在不知图象的前提下，我们能得知该函数是增还是减吗？（让学生大胆的去猜想）生10：可以用定义法证明函数()1xfxx在（0，+∞）上是增函数。师：那么具体怎么证明呢？带着这个问题让我们先来看例1.例1.证明函数1()fxx在(0,)上是增函数．1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取1212,(0,),xxxx且,设元121211()()fxfxxx求差2112xxxx变形12,xx∴12120,0xxxx∴,0)()(21xfxf即),()(21xfxf断号∴函数xxxf2)(在),2(上是增函数．定论2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．问题7：能用定义法证明1()fxx在(,0)上是增函数么？问题8：能证明1()fxx在(,0)(0,)上是增函数么？〖设计意图〗函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在BA上是增（或减）函数．五、巩固概念，适当延展练习1：试判断函数()1xfxx在（0，+∞）上是增函数还是减函数，并给予证明。（最后教师用“几何画板”作出()1xfxx的图象）练习2：证明函数xxf)(在),0[上是增函数．问题8：要证明函数)(xf在区间),(ba上是增函数，除了按以上步骤来证，如果可以证得对任意的),(,21baxx，21xx，都有0)()(1212xxxfxf可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数xxf)(在),0[上是增函数．〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．(2)巩固概念练习3：判断题：1）是增函数所以函数因为已知)(),2()1(,1)(xfffxxf．2）函数2()()(0),()[0)fxxfxffx,对任意x0满足则函数在，上为增函数．3）因为函数xxf1)(在区间),0()0,(和上都是减函数，所以xxf1)(在),0()0,(上是减函数.〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.六、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2.课后探究：研究函数)0(1xxxy的单调性，并结合描点法画出函数的草图．5.【课堂教学实录】教学环节教学活动问题呈现一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．生1（