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-1-2.2.2双曲线的几何性质-2-2.2.2双曲线的几何性质首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的几何性质.2.能够运用双曲线的性质解决一些简单问题.3.正确理解双曲线的特有性质——渐近线.-3-2.2.2双曲线的几何性质JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习首页双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)图形-4-2.2.2双曲线的几何性质JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习首页性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:x轴、y轴对称中心:原点对称轴:x轴、y轴对称中心:原点顶点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±𝑏𝑎xy=±𝑎𝑏x离心率e=𝑐𝑎,e∈(1,+∞),其中c=𝑎2+𝑏2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a是双曲线的实半轴长,b是双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)-5-2.2.2双曲线的几何性质JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习首页思考1双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?提示:双曲线的离心率e=𝑐𝑎反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.思考2双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上?提示:实轴.思考3一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?提示:1个.-6-2.2.2双曲线的几何性质JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习首页名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点:双曲线椭圆图形两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e10e1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2-7-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤:先将双曲线的方程化为标准形式𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1或𝑦2𝑎2-𝑥2𝑏2=1,再根据a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b)求出c,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画几何图形时,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形的对角线所在的直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形.【典型例题1】求双曲线16x2-9y2=-144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程,并作出草图.思路分析:将双曲线方程变为标准方程,确定a,b,c后求解.-8-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四解:把方程16x2-9y2=-144化为标准方程𝑦242−𝑥232=1,由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,c=𝑎2+𝑏2=5,焦点坐标为(0,-5),(0,5);顶点坐标为(0,-4),(0,4);离心率为e=𝑐𝑎=54;渐近线方程为y=±43x.作草图.-9-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四利用几何性质求双曲线的标准方程双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数法,即先设出标准方程,再利用条件列出关于a,b,c的方程,解方程组求出待定系数.【典型例题2】根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,焦距为10;(2)已知双曲线的渐近线方程为y=±23x,且过点M92,-1;(3)与椭圆𝑥249+𝑦224=1有公共焦点,且率心率e=54.思路分析:根据题设条件确定a,b的关系式,利用解方程的方法求得a,b的值.但焦点位置不明确的,要注意分情况讨论.也可根据双曲线的几何情况,设出双曲线系方程再求解.-10-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四解:(1)解法一:当焦点在x轴上时,设所求双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1.由渐近线方程为y=±12x,得𝑏𝑎=12,2c=10.又c2=a2+b2,得a2=20,b2=5,所以双曲线的标准方程为𝑥220−𝑦25=1.同理,当焦点在y轴上时,可得双曲线的方程为𝑦25−𝑥220=1,所以所求双曲线的标准方程为𝑥220−𝑦25=1或𝑦25−𝑥220=1.解法二:由渐近线方程为y=±12x,可设双曲线方程为𝑥24-y2=λ(λ≠0),即𝑥24𝜆−𝑦2𝜆=1.由a2+b2=c2,2c=10,得|4λ|+|λ|=25,所以|λ|=5,所以λ=±5,所以所求双曲线的标准方程为𝑥220−𝑦25=1或𝑦25−𝑥220=1.-11-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四(2)因为双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,所以可设双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0).又因为双曲线过点M92,-1,所以λ=4×814-9=72.所以双曲线方程为4x2-9y2=72,即标准方程为𝑥218−𝑦28=1.-12-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四(3)解法一:由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即c=5且焦点在x轴上.设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),且c=5.又e=𝑐𝑎=54,所以a=4,所以b2=c2-a2=9.所以双曲线的标准方程为𝑥216−𝑦29=1.-13-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以可设双曲线方程为𝑥249-𝜆−𝑦2𝜆-24=1(24λ49).又e=54,所以𝜆-2449-𝜆=2516-1,解得λ=33.所以双曲线的标准方程为𝑥216−𝑦29=1.点评:(1),(2)题中,利用渐近线方程与双曲线方程的关系,可设有公共渐近线的双曲线系方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0).这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确率.(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程,不失为一种巧妙的解题方法.-14-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四双曲线的离心率问题求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到a,b,c的关系式,再根据c2=a2+b2,直接求a,c的值.而在解题时常把𝑐𝑎或𝑏𝑎视为整体,把关系式转化为关于𝑐𝑎或𝑏𝑎的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.【典型例题3】双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为.思路分析:分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论,把𝑏𝑎看作一个整体进行求解.-15-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四解析:方法1:当焦点在x轴上时,其渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,依题意得𝑏𝑎=34,b=34a,c=𝑎2+𝑏2=54a,故e=𝑐𝑎=54.当焦点在y轴上时,其渐近线方程为y=±𝑎𝑏x,依题意得𝑎𝑏=34,b=43a,c=𝑎2+𝑏2=53a,即e=𝑐𝑎=53.方法2:由e=𝑐𝑎=1+𝑏𝑎2得:当𝑏𝑎=34时,e=54;当𝑏𝑎=43时,e=53.答案:53或54规律小结求双曲线的离心率的常用方法:(1)利用a,c求.若可求得a,c,则直接利用e=𝑐𝑎得解.(2)利用a,b求.若已知a,b,可直接利用e=1+𝑏𝑎2得解.(3)利用方程求.若得到的是关于a,c的齐次方程(p,q,r为常数,且p≠0),即p·c2+q·ac+r·a2=0,则转化为关于e的方程p·e2+q·e+r=0求解.-16-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四双曲线的渐近线问题根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程.与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程𝑥𝑎±𝑦𝑏=0或y=±𝑏𝑎x,则双曲线方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0).当λ0时,焦点在x轴上;当λ0时,焦点在y轴上.-17-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四【典型例题4】已知F1,F2为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求该双曲线的渐近线方程.思路分析:求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求a,b间的关系.本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系,求a,b间的关系.-18-2.2.2双曲线的几何性质ZHONGDIANNANDIAN重点难点JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习首页探究一探究二探究三探究四解:设F2(c,0)(c0),P(c,y0),则𝑐2𝑎2−𝑦02𝑏2=1,解得y0=±𝑏2𝑎,所以|PF2|=𝑏2𝑎.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,所以|F1F2|=3|PF2|,即2c=3×𝑏2𝑎.①将c2=a2+b2代入①式,解得b2=2a2或b2=-23a2(舍去),故𝑏𝑎=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.-19-2.2.2双曲线的几何性质SUITANGLIANXI随堂练习JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页123451.双曲线2x2-y2=8的实轴长为()A.2B.22C.4D.42答案:C-20-2.2.2双曲线的几何性质SUITANGLIANXI随堂练习JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页123452.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43解析:由双曲线的右焦点为(3,0),知c=3,即c2=9,又因为c2=a2+b2,所以9=a2+5,即a2=4,所以a=2.故所求离心率e=𝑐𝑎=32.答案:C-21-2.2.2