《动量与机械能》专题fux

《动量与机械能》专题【内容要点】1．动量2．机械能3．两个“定理”（1）动量定理：F·t=Δp矢量式(力F在时间t上积累，影响物体的动量p)（2）动能定理：F·s=ΔEk标量式(力F在空间s上积累，影响物体的动能Ek)动量定理与动能定理一样，都是以单个物体为研究对象．但所描述的物理内容差别极大．动量定理数学表达式：F合·t=Δp，是描述力的时间积累作用效果——使动量变化；该式是矢量式，即在冲量方向上产生动量的变化．例如，质量为m的小球以速度v0与竖直方向成θ角打在光滑的水平面上，与水平面的接触时间为Δt，弹起时速度大小仍为v0且与竖直方向仍成θ角，如图所示．则在Δt内：以小球为研究对象，其受力情况如图所示．可见小球所受冲量是在竖直方向上，因此，小球的动量变化只能在竖直方向上．有如下的方程：F′击·Δt-mgΔt=mv0cosθ-（-mv0cosθ）小球水平方向上无冲量作用，从图中可见小球水平方向动量不变．综上所述，在应用动量定理时一定要特别注意其矢量性．应用动能定理时就无需作这方面考虑了．Δt内应用动能定理列方程：W合=mυ02/2－mυ02/2=04．两个“定律”（1）动量守恒定律：适用条件——系统不受外力或所受外力之和为零公式：m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′或p=p′（2）机械能守恒定律：适用条件——只有重力（或弹簧的弹力）做功公式：Ek2+Ep2=Ek1+Ep1或ΔEp=－ΔEk5．动量守恒定律与动量定理的关系动量守恒定律的数学表达式为：m1v1+m2v2=m1v1′＋m2v2′，可由动量定理推导得出．如图所示，分别以m1和m2为研究对象，根据动量定理：F1Δt=m1v1′-m1v1①F2Δt=m2v2′-m2v2②F1=-F2③∴m1v1+m2v2=m1v1′＋m2v2′可见，动量守恒定律数学表达式是动量定理的综合解．动量定理可以解决动量守恒问题，只是较麻烦一些．因此，不能将这两个物理规律孤立起来．6．动能定理与能量守恒定律关系——理解“摩擦生热”(Q=f·Δs)设质量为m2的板在光滑水平面上以速度υ2运动，质量为m1的物块以速度υ1在板上同向运动，且υ1＞υ2，它们之间相互作用的滑动摩擦力大小为f，经过一段时间，物块的位移为s1，板的位移s2，此时两物体的速度变为υ′1和υ′2由动能定理得：-fs1=m1υ1′2/2－m1υ12/2①fs2=m2υ2′2/2－m2υ22/2②在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能不断转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及①②式可得：Q=(m1υ12/2+m2υ22/2)－(m1υ1′2/2－m2υ2′2/2)=f(s1－s2)=f·Δs③由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（“生热”）等于摩擦力与相对位移的乘积。特别要指出，在用Q=f·Δs计算摩擦生热时，正确理解是关键。这里分两种情况：（1）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，Δs为相对位移；（2）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，Δs为相对路程。7．功和能的关系做功的过程是物体能量的转化过程，做了多少功，就有多少能量发生了变化，功是能量转化的量度．动能定理合外力对物体做的功等于物体动能的增量．即kkkEEEmvmvW1221222121合重力做功与重力势能增量的关系重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加．重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值．即WG=EP1—EP2=—ΔEP弹力做功与弹性势能增量的关系弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能增量的负值．即W弹力=EP1—EP2=—ΔEP功能原理除重力和弹簧的弹力外，其他力对物体做的功等于物体机械能的增量．即WF=E2—E1=ΔE机械能守恒定律在只有重力和弹簧的弹力做功的物体系内，动能和势能可以互相转化，但机械能的总量保持不变．即EK2+EP2=EK1+EP1，2221212121mghmvmghmv或ΔEK=—ΔEP静摩擦力做功的特点（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的互相转移，而没有机械能与其他形式的能的转化，静摩擦力只起着传递机械能的作用；（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力对系统所做功的和总是等于零．滑动摩擦力做功的特点（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；（2）相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力对系统所做功的和总表现为负功，其大小为W=—fS相对（S相对为相互摩擦的物体间的相对位移；若相对运动有往复性，则S相对为相对运动的路程．）（3）在滑动摩擦力对系统做功的过程中，系统的机械能转化为其他形式的能，其大小为Q=fS相对一对作用力与反作用力做功的特点(1)作用力做正功时，反作用力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；作用力做负功、不做功时，反作用力亦同样如此．(2)一对作用力与反作用力对系统所做功的总和可以是正功,也可以是负功,还可以零．【典型例题】例1如图所示，三块完全相同的木块固定在水平地面上，设速度为v0子弹穿过木块时受到的阻力一样，子弹可视为质点，子弹射出木块时速度变为v0/2.求：(1)子弹穿过A和穿过B时的速度v1=?v2=?(2)子弹穿过三木块的时间之比t1∶t2∶t3?解析(1)应用动能定理求速度：得：(2)应用动量定理求时间比：得：t1∶t2∶t3=∶∶例2钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n倍，求(1)钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h的比值H∶h=?(2)钢珠在空中下落的时间T与陷入泥中的时间t的比值T∶t=？解析(1)动能定理，选全过程mg(H+h)－nmgh=0H+h=nh∴(2)动量定理，选全过程mg(T+t)－nmgt=0T+t=nt∴V0ABC说明：全程分析法是一种重要的物理分析方法，涉及到多个物理过程的题目可首先考虑采用全过程分析例3一物体静止在光滑水平面，施一向右的水平恒力F1，经t秒后将F1换成水平向左的水平恒力F2，又经过t秒物体恰好回到出发点，在这一过程中F1、F2对物体做的功分别是W1、W2，求：W1∶W2=？解法一用动能定理、动量定理得：∴⑤由动能定理：解法二将⑤代入①②得F1∶F2=1∶3解法三用平均速度:由动能定理：例4如图所示，一块质量为M的长木板A静置于水平地面上，质量为m的木块B以速度v0沿水平方向运动并恰好落在木板上面。设木板足够长，木块始终在板上运动，木板与地面间的动摩擦因数为μ2，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，若M=m，μ1=3μ，μ2=μ求：(1)从木板开始运动到最后停止运动共经历了多长时间？V0µ1µ2mMV1V2F1F2(2)木板在地上滑行的距离？(3)木块在木板上滑行的距离？解法一用动量定理和动能定理m作匀减速直线运动，直至与木板有共同速度后，再最后一起匀减速运动。M作匀加速直线运动，直到有共同速度后，再作匀减速直线运动。动能定理:对m:对M:②动量定理:对对其中v为两物相对静止时的共同速度,t为相对运动的时间，S1、S2分别为木块和木板的对地位移.代入①得代入②得木块在木板上滑行的距离代入③得至停下木板的总路程:总时间:解法二用牛顿定律和运动学公式共同画出v-t图，用加速度一斜率关系得：v0=4v例5在光滑的水平面上，有质量分别为m1、m2的两个物块，分别以速度v1、v2向右运动，v1＞v2，m2左侧固定有轻弹簧，如图所示．求：（1）弹簧的最大弹性势能．（2）弹簧被压缩又回复到原长时，m1、m2的速度分别为多大？解析整个过程系统的总动量始终守恒，当两物有共同速度时，弹性势能最大：m1v1+m2v2=（m1+m2）v共，则最大弹性势能：设弹簧又回复原长时m1、m2的速度分别为v1′、v2′，则有：说明：〔弹性碰撞〕例5这样的碰撞有完整的形变阶段和回复形变过程，形变回复后动能总和守恒的碰撞叫弹性碰撞。此类碰撞遵守两个守恒，即为计算上的方便，可将方程①、②相除，得v1+v′1=v2+v′2③平常可用方程①③联立解题较为简便．例5中若两物体质量相等m1=m2，则不难发现v1′=v2，v2′=v1，两物体交换了速度。这是一个规律。〔完全非弹性碰撞〕如果只有形变阶段，没有回复形变阶段，碰撞两物达共同速度时不再分开，叫完全非弹性碰撞，这种碰撞动能损失最大，由于碰后两物不分开，所以可以求出碰后速度：〔非弹性碰撞〕介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间，两个物体发生碰撞时有形变阶段和部分回复形变阶段，不能完全回复形变，有部分动能损失的碰撞叫非弹性碰弹．例5中的弹簧如果超过了弹性限度，m1、m2分开时弹簧没有回复原长，那么原来的碰撞就叫非弹性碰撞．非弹性碰撞只遵守动量守恒，碰撞以后的情况由两个碰撞物体的弹性性质决定，或通过实验测量的方法测量得到碰撞后的速度．例6一传送皮带与水平面夹角为30°，以2m/s的恒定速度顺时针运行。现将一质量为10kg的工件轻放于底端，经一段时间送到高2m的平台上，工件与皮带间的动摩擦因数为（μ=3/2），求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。解析首先要弄清什么是电动机“多消耗的电能”。当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能。现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加；另外，滑动摩擦力作功还会使一部分机械能转化为热，这两部分能量之和，就是电动机多消耗的电能。设工件向上运动距离s时，速度达到传送带的速度υ，由动能定理可知-mgssin30°+μmgscos30°=0－mυ2/2代入数字，解得s=0.8m，说明工件未到达平台时，速度已达到υ，所以工件动能的增量为：△Ek=mυ2/2=20J工件重力势能增量为：△Ep=mgh=200J在工作加速运动过程中，工件的平均速度为υ平=υ/2，因此工件的位移是皮带运动距离s′的1/2，即s′=2s=1.6m。由于滑动摩擦力作功而增加的内能E（摩擦生热）为△E=f△s=μmgcos30°(s′－s)=60J电动机多消耗的电能为△Ek+△Ep+△E=280J说明：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。在工件加速和匀速两个阶段，能量转化情况不同。知道了能量变化情况，尤其是“多消耗”电能的涵义，问题就迎刃而解了。例7质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上．平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图所示．一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点．若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度．求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。解析对于这类综合题，要善于分析物理过程中各个阶段的特点及其遵循的规律，要注意两个物体在运动过程中相关量的关系．质量为m的物块运动过程应分为三个阶段：第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O点．质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动．弹簧对于m：第二阶段，根据动量守恒有：mv0=2mv1②对于2m物块：第二阶段，根据动量守恒有：2mv0=3mv2④第三阶段，根据系统的机械能守恒有：又因：E′p=Ep⑦上几式联立起来可求出：l=x0/2说明：本题中，系统机械能守恒的初态应选碰撞后具有共同速度的时刻，而不能选碰撞前的时刻（碰撞中机械能有损失），这是一个关键。例8（2003全国理综34）一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传