_抽象代数.

第七讲对称与群“对称”与“群”有何关系？从图形和n元多项式的对称性出发，对称群的概念和表示方法——几何图形中具体的群——抽象群及应用一.对称1.1.人们身边充满了对称:比如:人体雪花鼠标对称与群对称照镜子夫妻比赛循环赛两国交战非对称照哈哈镜父子比赛淘汰制非对称战争其它的一些对称对称与群平面图形对称性的分类：1、左右对称性：如轴对称图形；2、镜像对称性：一个平面把两方隔开；3、平移对称性：竹子、蜈蚣、一维时间中，等间隔的重复音乐等；特点在于每隔一段（时间、距离）就会出现完全重复的图形，就象图形平移后所留的痕迹；没有对称要素，极易被忽视4、转动对称性：花瓣、雪花对称与群对称与群上面我们看到各种各样的“对称”，得到了感性认识，下面要考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。什么是对称的共性？什么是对称的本质？下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“多项式的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于“对称”的统一的本质。对称与群二:平面图形的对称人们一般会说，大圆与小圆有相同的对称性，大正方形与小正方形有相同的对称性；也会说，圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。正三角形与正方形谁“更”对称一些？对称与群2.1在运动中看“对称”让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：反射；旋转；平移。对称与群2.2从不变性看“对称”以上三种运动共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，借用物理学中的一个名词，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，把这种“保持距离不变“的映射统称为“平面刚体运动”。刚体是指在运动过程中任意两点间的距离保持不变的物体。2.2.1平面刚体运动的定义：2.2.2平面刚体运动的性质对称与群变中有不变注意，在上述“运动”的定义下,“不动”也是一种“运动”,它可以看成旋转0o的“运动”,也可以看成平移a=0的“运动”.这样，任何平面图形都会在某种“运动”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它“不对称”.由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使某平面图形K不变的“运动”放在一起,构成一个集合,记为S(K)，并称其为K的对称集.逆时针旋转120度对称与群如果看颜色它当然变了如果只看形状呢?对称与群|S(K)|=∞|S(K)|=8|S(K)|=12|S(K)|=6|S(K)|=1|S(K)|=02.3抽象观点与具体例子的对照把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述对称与群|S(K)|=∞|S(K)|=8|S(K)|=12|S(K)|=6|S(K)|=1|S(K)|=02.3抽象观点与具体例子的对照把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述对称与群定性的描述上升为定量的描述正三角形与正方形谁更对称一些？|S(K)|=6|S(K)|=8正方形比正三角形更对称一些。对称与群2.4小结从“对称”，发现“变中有不变”，提出“运动不变性”；把保持不变的运动放到一起，构成一个集合，称之为“对称集”，用它来描述对称性；最后，我们把“对称集”中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。“从实践中来，又到实践中去”。对称与群n元多项式的对称仿照研究“平面图形的对称”时的方式，把“n元多项式的对称”，也从直观的感觉，抽象为数学的叙述。2.5n元多项式简介121210(),nnnnnnifxaxaxaxaxaaR对称与群4121323fxxxxxx3121323()()()fxxxxxx21230fxxx11230fxxx123,,xxx2.6从运动中的不变性看“对称”考虑n＝3构成3元多项式的，有两方面要素，一方面是“构成元素”及系数,另一方面是他们间的“运算”——加法和乘法。3元多项式谁比谁更对称一些?对称与群3元多项式的对称性“n元置换”或简称“置换”n＝3的时候共有6个“3元置换”1231123xxxxxx1232132xxxxxx1233213xxxxxx1234231xxxxxx1235312xxxxxx1236321xxxxxx对称与群描述3元多项式对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使3元多项式不变的“3元置换”放在一起,构成一个集合，记为S(f),称为f的“对称集”.S(f)中元素个数|S(f)|是对f的对称性的量化描述.1234|()|2|()|1|()|3|()|6SfSfSfSf112321233121323412132300()()()fxxxfxxxfxxxxxxfxxxxxx对称与群“n元置换”一共有n!个。如果f是n元多项式，则S(f)是全体n!个n元置换所构成集合的子集合，所以|S(f)|n！.当|S(f)|=n！时，任一n元置换都将保持f不变，这时f称为n元对称多项式。对称与群把讨论“平面图形的对称”及“n元多项式的对称”中形成的数学思想综合起来，用“子集的对称”的语言来统一地描述任一客观事物的“对称”。2.9集合上的可逆变换，子集的对称变换例如，三角形上的点经过变换与该图形上的一点相对应，这体现了一种变换的思想。设M是一个非空集合，则M到自身的一个映射称为M上的一个变换；M到自身的一个可逆映射称为M上的一个可逆变换。几个例子…对称与群变中有不变，“变”是指集合M上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换都“改变”了集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对于M的一个具体的子集N,有些在整体上保持N不变,即称这样的为“N的对称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为称为“N的对称集”.()|()SNNN()NN和对比()SK对称与群2.10子集的对称任一客观事物都可以看作某一个集合M的子集MN2RRR对称与群“子集N的对称变换”“子集N的对称集S(N)”子集N的对称集S(N)，是一个具有代数结构的集合。S(N)中有运算，且有规律。对称与群①S(N)中任意两个元素,相继作用的结果仍保持N整体不变，故仍在S(N)中,称之为S(N)中的运算满足封闭律(一般说“运算”,就隐含封闭,为强调,单列一条)；1212②S(N)中任意三个元素，，的运算，是先做的运算还是先做的运算，效果是一样的，称之为S(N)中的运算满足结合律；1231213123对称与群③S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的1与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元律;④对S(N)中任一元素，S(N)中一定有一个元素使与相继作用的效果，恰相当于③中的恒等变换，即不动，称为的逆元，这称为S(N)中的运算满足逆元律;N的对称集S(N)叫作“N的对称变换群”.对称与群三、群的定义与性质1、定义设G是一个带有运算“”的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称{G；}是一个群②结合律,有,abGabG,,abcG()()abcabc①封闭律，有③幺元律，存在，使，有，称为幺元；eGaGeaaeae④逆元律,，存在，使称b为a的逆元。aGbGbaabe群{G；}也简记为G对称与群对称与群对称与群