交轨法(师生)

1：5、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例1.设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()例2.如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．2例3.已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；例4.如右图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．3例5.:抛物线y2=2px(p0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.巧练一：双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.4巧练二：已知双曲线2222nymx=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；巧练三：已知⊙M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果324||AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.5一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例1.设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得答案：C例2.如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得|y||ybx|1b2＝．①依题设，点C在直线AB上，故有6y=b1a(xa)xa0b(1a)yxa－－．由－≠得＝－．②将②式代入①式得y[1+(1+a)y(xa)]=[y(1a)xyxa]22222－，整理得y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0，若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．综上得点C的轨迹方程为(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)．(i)当a＝1时，轨迹方程化为y2＝x(0≤x＜1)．③此时，方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1时，轨迹方程为(xa1a)(a1a)+ya1a=1(0xa)22222≤＜．④所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．例3.已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.7当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又221010yycxx得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)例4.如右图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．如图，建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，8其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以－，，，．由＝，＝得＋＋＝①M(p20)N(p20)|AM|17|AN|3(xp2)2px17A2A(xp2)2px9x4pp0p=4x=1p=2x=2A2AAAA－＋＝②由①、②两式联立解得＝．再将其代入①式并由＞解得，，或，．因为△是锐角三角形，所以＞，故舍去，，AMNp2xp=2x=2AA∴p＝4，xA＝1．由点在曲线段上，得＝－＝，BCx|BN|p24B所以曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)例5.:抛物线y2=2px(p0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.解:设OA=y=kx,则xkyOB1:，pxykxy22得)2,2(2kpkpA同理B(2pk2,-2pk)22222111112222kkkkkkkkpkkppkkpkABAB:23222121)2(12kpkxkkpkxkkpky)2(11211221222232pxkkkpkxkkkpkpkxkky....①而op:xkky21.....②9∵P为AB与OP的交点，联立①②)2......(..........1)1).......(2(122xkkypxkky(1)×(2)消去k,y2=-(x-2p)x,∴x2+y2-2px=0(x≠0)即为所求.巧练一：双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2(yax22)2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).巧练二：已知双曲线2222nymx=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P的方程为：y=)(11mxmxy10①A2Q的方程为：y=－)(11mxmxy②①×②得：y2=－)(2222121mxmxy③又因点P在双曲线上，故).(,12212221221221mxmnynymx即代入③并整理得2222nymx=1.此即为M的轨迹方程.巧练三：已知⊙M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果324||AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解:（1）由324||AB，可得,31)322(1)2||(||||2222ABMAMP由射影定理，得,3|||,|||||2MQMQMPMB得在Rt△MOQ中，523||||||2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线AB方程是;0525205252yxyx或11（2）连接MB，MQ，设),0,(),,(aQyxP由点M，P，Q在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|||||2MQMPMB即(**),14)2(222ayx把（*）及（**）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx