§161平面点集与多元函数数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东师大教材配套课件

一、平面点集二、R2上的完备性定理三、二元函数多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.§16.1平面点集与多元函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容四、n元函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社1.平面点集的一些基本概念坐标平面上满足某种条件P的点的集合,称为平(,)(,).ExyxyP满足条件对与平面上所有点之间建立起了一一对应.(,)xy在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数义域是坐标平面上的点集,之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集,§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数平面点集记作后退前进目录退出由于二元函数的定因此在讨论二元函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社例如：(i)全平面:2R(,)|,.(1)xyxy222(ii)(,).Cxyxyr圆:(2)(iii)(,),,Sxyaxbcyd矩形:(3)00(iv)(,):Axy点的邻域00(,)||,||()xyxxyy与方形.[,][,].Sabcd也常记作：22200(,)()()()xyxxyy圆形§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社CxyOr(a)圆CSxyOabcd(b)矩形SAxyO(a)圆邻域AxyO(b)方邻域§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一因此通常用“点A的邻并用记号或来表示.(;)UA()UA点A的空心邻域是指:22200(,)0()()()xyxxyy圆0000(,)||,||,(,)(,)(),xyxxyyxyxy方或并用记号()(;)()UAUA或来表示.域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数方邻域之内(反之亦然),数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社00(,)0||,0||.xyxxyy注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出2.点和点集之间的关系以下三种关系之一:2RA2RE任意一点与任意一个点集之间必有是E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为(i)内点——若0,(;),UAE使则称点AE的内部,记作intE.错在何处?)§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社(ii)外点——若0,(;),UAE使则称点A是E的外点；c(;)(;)UAEUAE且0,(iii)界点——若恒有c2R\EE(其中),则称点A是E的界点;.E的全体界点所构成的集合称为E的边界;记作注E的内点必定属于E;E的外点必定不属于E;E的界点可能属于E,也可能不属于E.并请注意:称为E的外部.§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数由E的全体外点所构成的集合由EEEcE只有当时,E的外部与才是两个相同的集合.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社图16–3xyO1222(,)14.(4)Dxyxy例1设平面点集（见图16–3）满足的一切点也224xy221xy满足的一切点是D的界点,它们都属2214xy满足的一切点都是D的界点,但它们都不属于D.§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数是D的内点;于D;数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社点A与点集E的上述关系是按“内-外”来区分的.此外，还可按“疏-密”来区分，是否密集着E中无穷多个点而构成另一类关系:(i)聚点——若在点A的任何空心邻域()UA内都含有E中的点，注1聚点本身可能属于E，也可能不属于E.注2聚点的上述定义等同于:“在点A的任何邻域()UA内都含有E中的无穷多个点”.§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数即在点A的近旁则称点A是点集E的聚点．数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社d();EE或作dEE又称为E的闭包,记作.E例如,对于例1中的点集D,d22(,)14.DxyxyD其中满足224xy的那些聚点不属于D,而其余所有聚点都属于D.(ii)孤立点——若点AE,但不是E的聚点（即有某δ0,使得(;)),UAE则称点A是E的孤立点.注3E的全体聚点所构成的集合称为E的导集,记§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数它的导集与闭包同为数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社为聚点;例2设点集(,),.Epqpq为任意整数显然,E中所有点(p,q)全为E的孤立点;并有d,int,.EEEE3.一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一些重要的点集.注孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数既非聚点,又非孤立点,则必为外点.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社E为闭集.在前面列举的点集中,闭集——若E的所有聚点都属于E(),EE即则称E为闭集.这时也称222(,)Cxyxyr是开集，(,),,Sxyaxbcyd是闭集2R(,)|,xyxy22(,)14Dxyxy既不是开集又不是闭集.开集——若E所属的每一点都是E的内点(即E=intE),则称E为开集.§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数d(),E即若E没有聚点既是开集又是闭集，数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社则称E为开域.闭域——开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域——开域、闭域、开域连同其一部分界点所成的集合,统称为区域.不难证明:闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域.开域——若非空开集E具有连通性,点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,在平面点集中,只有R2与是既开又闭的.§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数即E中任意两简单地说,开域就是非空连通开集.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社它是I、III两象限之并集.不具有连通性,0,r有界点集——对于平面点集E,若使得(;),EUOr其中O是坐标原点(也可以是其他固定点),为有界点集.前面(2),(3),(4)都是有界集,(1)与(5)是无界集.是闭域,(,)|0,(5)Gxyxy上页诸例中,C是开域,S是闭域,R2既是开域又§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数又如虽然它是开集,但因否则就为无界点集(请具体写出定义).D是区域(既不是开域又不是闭域).所以它既不是开域,也不是区域.则称E数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映.所谓点集E的直径,就是1212,()sup(,),PPEdEPP其中ρ(P1,P2)是P1(x1,y1)与P2(x2,y2)之间的距离,即22121212(,)()().PPxxyy于是,当且仅当d(E)为有限值时,E为有界点集.E为有界点集的另一等价说法是:[,][,].abcdE§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数存在矩形区域数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社例3证明:对任何2R,SS恒为闭集.证如图16–4所示,S为的任一聚点，（即亦为S0xS的界点）.0x为此0,由聚点定义，0(;).yUxSSS0x0(;)Ux(;)Uyy图16–４根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式:121323(,)(,)(,).PPPPPP§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数0x设欲证存在数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社的点.内既有SS(;)Uy的点,又有非S0x0,xS为的界点,即也就证得S为闭集．注类似地可以证明:对任何点集2dR,SS导集亦恒为闭集.(留作习题)S0(;)Ux内既有的点,又有非S的点.y0(;)(;),UyUx再由为界点的定义,在§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数由此推知在的任意性,所以,由SS0x0(;)Ux(;)Uyy图16–４数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社证下面按循环流程来分别作出证明.dEEE①已知为闭集(即),欲证E.EEE,,pEpEE为此或是的聚点或是的孤立点.dd,pEEEpE若，则由得；EE从而，E于；dccint()EEEEEEEE①②③§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数反之显然有.EEE综合起来,便证得int.EEE而孤立点必属2R.E例4设试证E为闭集的充要条件是：cint().cEEEEE或.EEE故数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社EEE，cint().cEE②已知欲证为此c,,pEpE则外点,,0,(;).UpE按定义使c(;),UpEccccint().int().EEEE有这就证得反之显然③ccdint(),.EEEEE已知欲证c(,,pEpE据条件可证若不然从而由d,Ec0,(;),UpE故使§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数),pE与为的聚点相矛盾dd..EEEEE故这就证得从而cint(),pE条件推知,EEpE而由故必为的ccc,int().pEEE故是的内点即p为此数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社注此例指出了如下两个重要结论:(i)闭集也可用“EEE”来定义(只是使用起来一般不如“dEEE”方便,有许多便于应用的性质)．(ii)闭集与开集具有对偶性质集;过讨论来认识E.cE§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数利用此性质,有时可以通开集的余集为闭集.——闭集的余集为开因为有关聚点数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社例5以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是“非空连通闭集”；D(ii)要判别一个点集是否是闭域,只要看其去除边界后所得的是否为一开域,即\DDD“若为开域,则必为闭域”.答(i)例如取(,)|0,Sxyxy这是一个非空连),SGG坐标轴)的并集(即从而G不是开域,但因它是(,)|0Gxyxy与其边界(二§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数故S不是闭域(不符合闭域的定义).通闭集.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社E为一开域,据定义F则为闭域；,DEEFD故不是闭域，§1平面点集与多元函数平面点集R2上的完备性定理二元函数n元函数(a)中的点集为D;D(a).FEE(c)中的点集为F(c)(ii)如图所示,E(b)(b)中的点集为\;EDD易见然而(\).DDD从而与不一定相同数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定义11.平面点列的收敛性定义及柯西准则系完备性的几个等价定理,现在