§163二元函数的连续性.

§16.3二元函数的连续性机动目录上页下页返回结束一、二元函数的连续概念复习一元函数连续概念(),lim()()xafxxafxfa在点处连续0,0,(,),:()()xUafxfa有与一元函数连续类似地，从几何直观，引入二元函数连续性机动目录上页下页返回结束1.连续的定义定义1.设函数(,)zfxy的定义域为点集2000,(,)DPxyR是D的聚点或孤立点，动点(,)PxyD；如0，0，0(,)PUPD，有：00(,)(,)fxyfxy成立，则称函数f关于集合D在点0P连续。（相对连续）特别地，当点0P是D的内点时，称函数f在点0P连续。（全面连续）定义2.(,)fxy在集合D上连续，f在D内任一点关于D均连续。机动目录上页下页返回结束说明：1.定义1中，0PD有二种情况：(1)0P是D的孤立点时，则f必在0P连续。(2)当0P是D的聚点时，f在0P连续00lim()()PPPDfPfP；否则，如果0P是D的聚点，而00lim()()PPPDfPfP则称函数f在点0P不连续（或称间断）。2.0lim()PPPDfP存在，但不等于0()fP时，称0P是f的可去间断点。机动目录上页下页返回结束例1.设2222222,0,(,),0.1xyxyxyfxymxym，证明函数(,)fxy在点(0,0)沿方向ymx连续。:证明(,)(0,0)lim(,)xyymxfxy22(,)(0,0)limxyymxxyxy21mm(0,0)f(,)(0,0).fxyymx在沿着直线是连续的机动目录上页下页返回结束例2讨论函数222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy在(0,0)的连续性．解取ykx2200limxyxyxy22220limxykxkxxkx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．机动目录上页下页返回结束例3设21,0,,(,)0,.yxxfxy其他证明函数(,)fxy在点(0,0)沿任何方向都连续，但并不全面连续。（参见上节的例6）6.:由上节例证明(,)(0,0)xy当点沿着任何直线趋于原点时,(,)fxy0(0,0),f(0,0)f在点沿任何方向都连续,(,)(0,0)lim(,)xyfxy但不存在,(0,0)f在点不全面连续机动目录上页下页返回结束例4讨论函数3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在(0,0)处的连续性．解取cos,xsiny(,)(0,0)fxyf33(sincos)2机动目录上页下页返回结束(,)(0,0)2fxyf故函数在(0,0)处连续.(,)(0,0)lim(,)(0,0),xyfxyf0,,2当时220xy机动目录上页下页返回结束函数的增量000.(,),(3,),PxyPxyD定设义00,,xxxyyy记0,P称为自变量在的增量则0000(1).(,)(,)(,)ffxyfxyfxy0000(,)(,)fxxyyfxy0fP称为函数在点的全增量.0(2).,yy固定000000(,)(,)(,)xfxyfxxyfxy0fPx称为函数在点关于的偏增量.000000(3).(,)(,)(,)yfxyfxyyfxy0fPy称为函数在点关于的偏增量.机动目录上页下页返回结束由此定义知，当0P是D的聚点时000,0,0(,)()lim(,)0xyxyDfPPfxy.在1点题连命续00(,2)fxyxx.一元点命函数题连续000lim(,)0.xxfxy00(3,)fxyyy命.一元函题数点连续000lim(,)0.yyfxy000(,)(,)fxyPxy.在点命题4连续00(,)fxyxx点连续00(,)fxyyy点连续命题4的逆命题不真.3见例,,xyf自变量有微小变动时因变量变动也很小机动目录上页下页返回结束2.连续函数的性质与一元函数的连续性质一样，我们有局部有界性定理.如果函数()fP在0P点连续，则0，函数()fP在0(,)UP内有界。局部保号性定理.如果函数()fP在0P点连续，且0()0fPr（或0()0fPr），则0，0(,)PPU，有：()0fPr（或()0fPr）。机动目录上页下页返回结束定理（四则运算法则）如果函数()fP与()gP都在0P点连续，则()()fPgP，()()fPgP，()()fPgP（0()0gP）也都在0P点连续。定理(复合函数连续性)若(,)uxy和(,)vxy在点000(,)Pxy连续，且000(,)uxy，000(,)vxy，(,)zfuv在点000,Quv处连续，复合函数(,),(,)zfxyxy在000(,)Pxy点也连续。机动目录上页下页返回结束:证明0fQ在点连续,000,0,,uuvv当时,有:00(,),fuvfuv0P又与在点连续,000,0,,xxyy对上述当时,有:000(,)(,)uuxyxy000(,)(,)vvxyxy0000,:(,),(,)(,),(,)fxyxyfxyxy从而有00(,),fuvfuv000(,),(,)(,)fxyxyPxy在连续.机动目录上页下页返回结束二.二元初等函数及其连续性多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．事实上，连续的一元函数也都是连续的多元函数，例如(,)sinfxyx在2R上连续……。由多元函数连续的运算法则，以及基本初等函数的连续性，即得。机动目录上页下页返回结束例50011lim.xyxyxy求解0011lim(11)xyxyxyxy原式001lim11xyxy1.200000lim()()()()lim()().PPPPfPfPPfPfPPfPfP一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是机动目录上页下页返回结束6.讨论下列例函数的连续性sin,01).(,);0,0xyyyfxyy:解0,y当时sin(,)xyfxyy连续0,y当时00,(,),0xfxyxR研究在点的连续性.0().0,ix如果则0(,),00lim(,)xyxyfxy0(,),00sinlimxyxyxyy0,x0(,),00lim(,)xyxyfxy0(,),00lim0xyxy0,0(,),0lim(,),xyxfxy故不存在初等函数机动目录上页下页返回结束0().0,iix如果此时(,)(0,0)fxyf0sin,00,0xyyyy,00,0xyy,x(,)0,0lim(,)(0,0)xyfxyf0,(,)0,0fxy即在连续.综上所述,00(,),00)fxyxx在点间断(;其余点连续.0(,),0fxyx在不连续机动目录上页下页返回结束222222,0(2).(,)(0).0,0pxxyxyfxypxy:解00().(,)0,0,ixy当时00(,)(,)fxyxy在连续初等函数00().(,)0,0,iixy当时cos,sin,xryr令则(,)0,00,xyr(,)(0,0)fxyf而2cosprr21cospr210p当时,1,2p即时211(,)(0,0)pfxyfr(,)0,0,lim(,)(0,0),xyfxyf因此机动目录上页下页返回结束(0,0)f在连续.210,p当时1,2p即时0,选取0,0,yx即射线(,)(0,0)fxyf则21cospr211pr11,2p1,2p(,)0,0lim(,)(0,0),xyfxyf(0,0).f即在不连续,综上所述(0,0),在点1;2pf当时,连续1,;2pf当时不连续.f而其它点皆连续机动目录上页下页返回结束三.一致连续性复习zfD在区域上连续00,0,0,,,,:PDPDPP只要有0()()fPfP:zfD在区定域义上一致连续000,0,,,,,:PPDPP只要有0()()fPfP机动目录上页下页返回结束四.有界闭区域上连续函数的性质1.有界性与最值性定理(有界性与最大、最小值定理)若函数f在有界闭区域2DR上连续函数，f在D上有界，且能取得最大值与最小值。:.fD先证在证上有界明,若不然则,n正整数,nPD必:,1,2,nfPnn使lim,nnfP,nPD,nP为有界点列由魏尔斯托拉斯定理,,knnPP存在收敛子列机动目录上页下页返回结束0lim.knkPP设,D由为闭域0,PD从而,fD又在上连续0P在连续,于是,有:0limknkfPfP,矛盾fD是上的有界函数.fD再证,在上能取到最大,最小值.inf(),sup().mfDMfD设,,()QDfQM即证使:,,()QDfQm同理证使:,,(),PDfPM反证设有:()0.MfP机动目录上页下页返回结束1(),()FPMfP记FD则在上连续,FD由前面的证明知,在上有界,sup(),(),MfDfPM而且0,,()PDMfPM即使:10,,nPDn取使:1(),(1,2,)nMfPMnn,lim(),nnfPM于是lim()nnFP,FD与在上有界矛盾fD故在上能取到最大值.//机动目录上页下页返回结束2.一致连续性定理（一致连续性定理）设函数f在有界闭域2DR上连续f在D上一致连续，,):(用聚点定理来证证反证明fD设在上连续而不一致连续,0,0则0,,,,,PQDPQfPfQ0且但是1,n取,,nnPQD1,,nnPQn且,nnfPfQ0但是1,2,n机动目录上页下页返回结束,D为有界闭域,knnDPP中点列存在收敛子列0lim,knkPPD设,kknnnQPQ在中取出与下标相同的子列则0,kknnPQ1knk0,limlimkknnkkQP0P,D0,:fP由在连续得limkknnkfPfQ00fPfP00,kknnfPfQ0与.矛盾.fD故在上一致连续机动目录上页下页返回结束3.介值性与零点定理定理（零点定理）设函数f在区域2DR上连续，如果12,PP为D中任意两点，且120fPfP，则必存在点0PD，使得00fP。oxyD2P1P:证明12,,PPD不妨设为的内点,D为区域则可用有限段都12,DPP在中的折线连结和如果有某一个连结点所对应0,的函数值为,则定理得证机动目录上页下页返回结束oxyD2P1P,否则,必存在某直线段12fMM在它的两端点与的函数值异号,120,0,fMf