§193欧拉积分数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东师大教材配套课件

§3欧拉积分数学分析第十九章含参量积分*点击以上标题可直接前往对应内容在本节中我们将讨论由含参量反常积分定义的两个很重要的非初等函数——函数函数.和一、函数二、函数三、函数与函数之间的关系数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社含参量积分：10()ed,0,(1)sxsxxs称为伽马(Camma)函数.函数可以写成如下两个积分之和：11101()ededsxsxsxxxx()1ss当01s其中时是正常积分,当时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);§3欧拉积分后退前进目录退出函数函数函数函数与函数之间的关系()(),ss数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社()0ss当时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西判别法推得).0.s即函数的定义域为()s0s1.在定义域内连续且有任意阶导数[,](0)aba(),s在任何闭区间上,对于函数当01x11ee,sxaxxx时有110edaxxx由于收()s[,]ab敛,从而在上也一致收敛;§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系0s时收敛,所以含参量积分(1)在11edbxxx收敛,从而()s[,]ab在上也一致收敛,由于1x11ee,sxbxxx时,有(),s对于当0s上连续.()s在于是数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社用上述相同的方法考察积分1100edelnd.sxsxxxxxxs它在任何区间[,](0)aba上一致收敛.§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系10()elnd,0.sxsxxxs同理可证()10()e(ln)d,0,2,3,.nsxnsxxxsn()s[,]ab在上可导,于是由定理19.11得到在上可导,且0s()s任意性,由a,b的数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社2.递推公式(1)()sss对下述积分应用分部积分法,有1000edeedAAAsxsxsxxxxsxx10eed.AsAsxAsxx§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系A()s让就得到的递推公式:(1)().(2)sss设1,01,nsnsn即应用递推公式(2)n次可以得到(1)()(1)(1)ssssss(1)()().(3)sssnsn数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社()s01s公式(2)还指出,如果已知在上的值,那§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系么在其他范围内的函数值可由它计算出来.若s为正整数n+1,则(3)式可写成0(1)(1)21(1)!ed!.(4)xnnnnxn()s0(,)x由(4)式及在上严格增可推得lim().ss0s综上所述,函数的图象如图19-2中部分所示.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社3.函数图象的讨论()()ss和对一切0s,恒大于0,x位于轴上方,且是向下凸的.()s0s00(12).xx且，所以在上存在唯一的极小点§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系0lim(1)(1)1,ss故有00(1)lim()lim.sssss()s0(0,)x0(,)x在内严格减;在内严格增.又由于()(1)()(0)sssssss及(1)(2)1，因为()s的图形因此数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社4.延拓()s改写递推公式(2)为(1)().(5)sss当10s时,(5)式右端有意义,于是可应用(5)式()s(1,0)来定义左端函数在内的值,()0.s这时§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系并且可推知数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社192图x1()x234123412341234用同样的方法,利用式又可定义在()s(2,1)内的值,而且这时()0.s下去可把()s延拓到整个数轴(除了0,1,2,s以外),其图象如图19-2所示.已在(1,0)内有()s定义这一事实,§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系依此由(5)数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社5.()s的其他形式()s2,xy在应用上,也常以如下形式出现,如令则有212100()ed2ed(0).(6)sxsysxxyys令,xpy就有1100()eded(0,0).(7)sxsspysxxpyysp§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社含参量积分：1110B(,)(1)d,0,0(8)pqpqxxxpq称为贝塔(Beta)函数(或写作B函数).注与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B函数是含两元的含参量积分，全类似的.§3欧拉积分B函数函数函数函数与函数之间的关系但讨论的步骤与方法是完数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社反常积分;反常积分.这两个无界函数反常积分都收敛.的定义域为0,0.pqB(,)pq0,0pq1.在定义域内连续由于对任何000,0pq成立不等式00111100,(1)(1),,pqpqxxxxppqq§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系1p0xB函数(8)当时,是以为瑕点的无界函数1q1x时,是以为瑕点的无界函数当0,0pq时应用柯西判别法可证得当B(,)pq所以函数数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社B(,)pq00,ppqq在上一致收敛.B(,)pq0,0pq因而推得在内连续.2.对称性B(,)B(,)pqqp作变换1,xy得1110B(,)(1)dpqpqxxx1110(1)dB(,).pqyyyqp§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系而积分001110(1)dpqxxx收敛,故由M判别法知数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社1B(,)B(,1)(0,1),(9)1qpqpqpqpq1B(,)B(1,)(1,0),(10)1ppqpqpqpq(1)(1)B(,)B(1,1)(1)(2)(1,1).pqpqpqpqpqpq证下面只证公式(9),公式(10)可由对称性及公式(9)推得,§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系3.递推公式而最后一个公式则可由公式(9),(10)推得.数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社1110B(,)(1)dpqpqxxx111201(1)(1)dppqqxxxxxp1112110011(1)d(1)dpqpqqqxxxxxxpp11B(,1)B(,),qqpqpqpp当时,有1,1pq111200(1)1(1)dpqpqxxqxxxpp§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系移项并整理就得(9).数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社4.B(,)pq的其他形式在应用中B函数也常常以如下形式出现:212120B(,)2sincosd.(11)qppq§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系2cos,x则有如令数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社如令21d,1,d,11(1)yyxxxyyy则有§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系10B(,)d.(1)ppqypqyy11d.(1)ppqyyy考察1,yt令则有11d(1)ppqyyy所以1110B(,)d.(1)pqpqyypqyy101d.(1)ppqtyt数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社函数与函数之间的关系,mn当为正数时,反复应用B函数的递推公式,可得1B(,)B(,1)1nmnmnmn121B(,1).121nnmmnmnm§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系B1211(1)!B(,)121(1)!nnmmnmnmnmmm(1)!(1)!,(1)!nmmn又由于1101B(,1)d,mmxxm所以数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社()()B(,).(12)()nmmnmn即对任何正实数p,q也有相同的关系:()()B(,)(0,0).(13)()pqpqpqpq这个关系式将在第二十一章§8中加以证明.§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例1求证0d111(,).423cos22xBx证令2cos,2xu则0d3cosxx12012121111d(1)2(1)uuuu12121201(1)d.2uuu§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系02d22cos2xx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社再令2,tu则12121201(1)d2uuu112141201(1)d22tttt111112401(1)d22ttt111B(,).2422§3欧拉积分函数函数函数与函数之间的关系数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社(,,)fxyz[,][,][,)abcde1.若是定义在的函数,(,)(,,)d,(,)[,][,].eJxyfxyzzxyabcd试定义含参量积分(,)Jxy的一致收敛性.(,,)fxyz[,][,][,)abcde2.若是定义在的函数,(,)(,,)d,(,)[,][,].eJxyfxyzzxyabcd试推广含参量积分(,)Jxy一致收敛性的M判别法.复习思考题函数,(,)(,,)d,(,)[,][,].eJxyfxyzzxyabcd(,)Jxy(,)Jxy若含参量积分为一致收敛,试证在[,][,]abcd上连续.(,,)fxyz[,][,][,)abcde3.若是定义在的连续