§24初等变换与初等矩阵

西南财经大学天府学院§2.4初等变换与初等矩阵西南财经大学天府学院凌波微步是逍遥派的独门轻功步法，以易经八八六十四卦为基础，使用者按特定顺序踏着卦象方位行进，从第一步到最后一步正好行走一个大圈。此步法精妙异常，习者可以用来躲避众多敌人的进攻。曹子建《洛神赋》“体迅飞凫，飘忽若神，凌波微步，罗袜生尘。动无常则，若危若安。进止难期，若往若还。转眄流精，光润玉颜。含辞未吐，气若幽兰。华容婀娜，令我忘餐。”西南财经大学天府学院定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk一、矩阵的初等变换西南财经大学天府学院定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或西南财经大学天府学院等价关系的性质：；反身性）（A~A1A;~B,B~A2则若对称性）（C.~AC,~BB,~A3则若）传递性（．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价西南财经大学天府学院例用矩阵的初等行变换解方程组：,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx（1）线性方程组的系数矩阵：由线性方程组的系数按它们在方程组中的顺序构成的矩阵。线性方程组的增广矩阵：由线性方程组的系数和常数按它们在方程组中的顺序构成的矩阵。西南财经大学天府学院对方程组（1）的增广矩阵实施初等行变换：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r西南财经大学天府学院979632113221112412111B234330635500222041211B13322rrrr143rr西南财经大学天府学院331000620000111041211B234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr西南财经大学天府学院500000310003011040101B310006200001110412113B400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr西南财经大学天府学院对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c西南财经大学天府学院.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．西南财经大学天府学院定义3若矩阵A满足：（1）元素全为零的行，都在非零行的下边；（2）所有非零行的第一个非零元素，它们的列标均随行标的递增而增大，则称矩阵A为阶梯形矩阵，简称阶梯形。定义4若阶梯矩阵A满足：（1）非零行的第一个元素都是”1“；（2）所有非零行的第一个非零元素”1“所在的列，其余元素全为零，则称这样的阶梯型为最简阶梯形矩阵。西南财经大学天府学院.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．西南财经大学天府学院000003100030110401015B214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵BF西南财经大学天府学院.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：西南财经大学天府学院12341731.2012A例1：将矩阵化为阶梯形矩阵例2：下列矩阵中哪些是阶梯形矩阵？100211902012345010270010001000001230000100010，，西南财经大学天府学院1.定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.2.三种初等矩阵1）对调两行或对调两列—初等对换矩阵jirr)(jicc或行第i行第j列第i列第j1101111011E11111111ijP二、初等矩阵西南财经大学天府学院2）以数乘某行或某列—初等倍法矩阵0k列第i行第ikri1111kkci或11111E()iDk西南财经大学天府学院3）将某行（列）的倍加到另一行（列）上—初等消法矩阵k行第i行第j列第i列第j1111Ejikrr1111kijkcc或=()ijTk西南财经大学天府学院问题初等矩阵是否可逆？如果可逆，分别求出初等对换矩阵、初等倍法矩阵、初等消法矩阵的逆矩阵。111()1(())()(())()ijijiiijijPPDkDkTkTk西南财经大学天府学院初等矩阵与初等变换的联系西南财经大学天府学院例:00100100100000011514131211aaaaa4544434241aaaaa3534333231aaaaa2524232221aaaaa111213141521222324252431323334354142434445aaaaaaaaaaPaaaaaaaaaa4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa西南财经大学天府学院说明:用左乘矩阵A,相当于对矩阵A施行一次初等行变换：将A的第2、4两行对调；24P尝试:用右乘矩阵A,是不是相当于对矩阵A施行一次初等列变换：将A的第2、4两列对调.24P西南财经大学天府学院10000000100010001000000011512131411aaaaa4542434441aaaaa3532333431aaaaa2522232421aaaaa111213141521222324252431323334354142434445aaaaaaaaaaPaaaaaaaaaa4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa西南财经大学天府学院定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.nmmnAAAAA三、初等矩阵的应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵西南财经大学天府学院2323,,,,,,.ssEEEEREEEmR11一个mn的矩阵A总可以表示成：A=的形式其中E为阶初等矩阵为mn的最简阶梯命题2形矩阵.西南财经大学天府学院2323,.,,,3ssEEEEAEEEE11n阶矩阵A可逆的充分必要是存在有限个初等矩阵，使：=定理11132sEEEAE-11E11132sEEEE-11-1EA1()()AEEA初等行变换西南财经大学天府学院.,3431223211AA求设解例１103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr21rr23rr西南财经大学天府学院11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr312rr325rr）（22r）（13r.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13r西南财经大学天府学院.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA)(BABA1即初等行变换西南财经大学天府学院例２.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解.1BAXA可逆，则若343431312252321)(BA西南财经大学天府学院1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr西南财经大学天府学院，311003201023001.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rr西南财经大学天府学院.1CAY即可得,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求CACAY,CA1CAE列变换西南财经大学天府学院1.初等行(列)变换;1jijiccrr;2kckrii.3jijikcckrr初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质;1反身性;2对称性.3传递性2.A初等变换B.~BA六、小结西南财经大学天府学院6.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换7.利用初等变换求逆阵的步骤是:;1EAEA或构造矩阵.,,(,,211AEEAEAAEEAEA对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分