§24运动方程式的变换

1§2.4运动方变换通过上节课对运动方程的求解我们看出，交流电机运动方程的系数都是时变函数，因此，求截这种微分方程是非常繁琐的。为了简化运动方程的求解，我们这一节研究采用变数变换的方法。即用新的变数电压和电流来替换运动方程中的实际变数。我们称这种变数变换为坐标变换。电机理论中用到的变换基本上都是线性变换，而且坐标变换的种类也很多，究竟采用哪一种需要根据具体问题来选择。一、电流、电压和阻抗变换的一般公式设有电路方程3132121111izizizu3232221212izizizu3332321313izizizu即321uuu=333231232221131211zzzzzzzzz321iii写成向量形式为ziu其中u、i是电压、电流矩阵，Z是阻抗矩阵。现在引入坐标变换，将u和i变为u和i，设变换矩阵是C，即：ucuici可见，若变换枕C为一常值矩阵，电压方程组的形式保持不变，此时系统的功率为ucciuiHHh上一节2如果要求满足功率不变的约束，则必须有CHC=E或CH=C-1即C是酉矩阵，而这种变换矩阵采用酉矩阵的坐标变换称为酉变换。酉变换满足“功率不变”要求，且有：iciciH1ucucuH1izuzcczH在分析三相交流电机是常用的一些酉矩阵，如αβ0阵，dq0阵，对称分量阵等等会在下面介绍。二、对称分量变换交流电机不对称运行最常用的方法是对称分量法。其基本思想就是利用对称分量变换，将系统的阻抗矩阵变换为对角阵，从而简化问题的求解。1、公式及其含义对于三相对称电路，若外加的电源电压不对称时可以证明，总可以把不对称的电源电压UA、UB、UC分解成正序、负序和零序三组对称电压，即)(310UUUUA)(3102UaUUaUB)(3102UUaaUUC3其中称原来不对称电压的对称分量，U+、a2U+、aU+是一组对称的三相正序电压，U-、a2U-、aU-是一组对称的三相负序电压，是为了满足功率平衡而引入的系数。写成矩阵的形式0221111131UUUaaaaUUUCBAUCU其中CBAUUUU；0UUUU111113122aaaaCC为酉矩阵。同样的道理，这种对称分量变换的方法同样适用于电流变换ICI其中CBAIIII；0IIII由此可见，这种变换是把一组不对称的量用一组对称的量代替，使原来不对称的电压、电流分解为三组对称的电压和电流，在系统为线性和对称的情况下，可分别求解每一项迭加后得到总的结果。另外，对以上两式两边左乘C-1即CH，则可以由不对称电压或电流求得对称4电压或电流。还须指出的是，福提斯古(Fortescue)最初提出的对称分量变换，起其变换矩阵C中没有31,即02211111IIIaaaaIIICBA此时C不是酉矩阵，因而不满足“功率不变约束”这两种变换各有其优点、缺点。取C为酉矩阵时，公式记忆比较方便，且前后功率不变，但计算正、反转磁势时要除以31。取福提斯古变换时，计算气隙内的正转、反转磁势较为直接，但不满足功率不变约束。2、对称交流电机阻抗矩阵的对角线化如图所市所示三相不对称电压，阻抗为循环对称的三相交流电机，IA、IB、IC是不对称三相电流，ZA为每相自阻抗，ZB是A→C、C→B、B→A相间的互阻抗，ZC为A→B、B→C、C→A间的互阻抗，且ZB≠ZC，此时电机的电压方程为CBAACBBACCBACBAIIIZZZZZZZZZUUU或IZU其中Z为变换前电机的阻抗矩阵，ACBBACCBAZZZZZZZZZZ可以看出，此时因阻抗矩阵是个满阵，所以通过此矩阵方程求出5IA、IB、IC，需求解一个三阶的复数联立方程，非常繁琐。现在，我们引入对称分量变换，可知加于电机端点的正序、负序和零序电压分别为CBAHUUUCUUU0变换后的阻抗矩阵Z应为ZCCZCCZH1111113111111312222aaaaZZZZZZZZZaaaaACBBACCBACBACBACBAZZZZaaZZaZZaZ000000220000000ZZZ其中Z+、Z-和分别为对称三相交流电机的正序、负序和零序阻抗，Z+=ZA+a2ZB+aZCZ-=ZA+aZB+a2ZCZ0=ZA+ZB+ZC即变换后的阻抗矩阵已经变成对角线矩阵。于是从变换后的电压方程IZU可知ZIUZIU或6ZUIZUI算出I+和I-以后，从ICI即可求出各相实际电路。需说明，对于没有中线的三相电路，线路的零序阻抗ZL0=∞，因而零序电流为零。上面几式说明，对于阻抗为循环对称的三相电路，经过对称分量变换以后，阻抗矩阵将转化为对角形阵；相应地，正序、负序和零序电压方程之间将没有互相耦合，即各序电压将仅产生该序的电流，因此各序可以单独求解，而不用联立求解，使求解过程简化。这是对称分量变换的主要优点。3、转子反应和凸极对序阻抗的影响以上导出了具有循环对称的三相阻抗的正序、负序和零序阻抗，下面来讨论几种特殊情况。（1）仅有自阻抗的三相电路。若互阻抗ZB=ZC=0，则此时正序、负序和零序阻抗均相等，其值等于ZA（2）具有自阻抗和相等互阻抗的三相电路。此时ZB=ZC，于是Z+=Z-=ZA-ZBZ0=ZA+2ZB即正序阻抗等于负序阻抗，但不等于零序阻抗。若互感电抗为负值，则Z+=Z-﹥Z0。对于交流三相旋转电机来说，若不计转子反应或者对正、负序磁场具有相同的转子反应时，就属于这种情况。（3）对称三相交流电机。对称三相交流电机是指定子绕组为三7相对称、转子绕组为三相或多相对称，电机的磁路亦为对称的电机。此类电机的阻抗矩阵为循环对称，但当转子旋转时，由于转子对正、负序磁场的反应不同，所以B、C两相对A相的等效互感具有不同的值，即ZB≠ZC。此时一般来讲，Z+≠Z-≠Z0且正序和负序阻抗的值与转子转速有关。正序、负序和零序阻抗互不相等，这是旋转电机的特点，亦是它与静止电路的主要差别。（4）转子为凸极的三相交流电机。这种电机的钉子装有三相对称绕组，但转子为凸极，且交、直轴上的绕组互不对称，例如三相凸极同步发电机。这种电机在电和磁两方面都不对称，属于不对称机。因此，它的阻抗不是循环对称，即使进行对称分量变换，阻抗矩阵仍为非对角矩阵。这样，一方面各相序的电路之间具有耦合，另外还会出现高次谐波。所以严格来讲，凸极同步发电机的正序和负序阻抗并非总是一个常值，而是与运行方式有关。三、dq0变换基本思想：旋转电机理论中的另一种常用的坐标变换是dq0变换。它是把固定轴线u、v、w变换成随转子d、q轴同时旋转的dq0轴线，这样可以把变化的自感和互感系数电感矩阵，变换为电感为常值的对角矩阵，是变系数微分方程变为常系数微分方程，从而简化求解。1、变换公式极其含义id=2/3[iAcosθ+iBcos（θ-1200）+iCcos（θ+1200）]8iq=2/3[iAsinθ+iBsin（θ-1200）+iCsin（θ+1200）]=1/3（iA+iB+iC）或iA=idcosθ+iqsinθ+i0iB=idcos（θ-1200）+iqsin（θ-1200）+i0iC=idcos（θ+1200）+iqsin（θ+1200）+i0变换阵为C01)120sin()120cos(1)120sin()120cos(1sincos00000C上面的变换式的含义就是把电机定子三相绕组的电流iA、iB、iC分别投影到与转子一起旋转的d轴和q轴上去，得到新的直轴电流id和交轴电流iq，还有一组孤立的零轴电流i0，它与转子的偏转角θ无关。上面的第二组公式说明把旋转轴线上的电流id和iq投影到A、B、C相绕组的固定轴线上，加上零轴电流，以得到iA、iB、iC。所以这种变换代表一种固定轴线与旋转轴线之间的变换。从物理上看，这就相当于把实际的三相绕组变换成一个换相器绕组，其换相器上装有两组随凸极转子一起旋转的电刷，一组与d轴重合，一组与q轴重合。例1．用派克提出的dq0变换，将凸极同步电机定子绕组中的对称三相正序电流变换为dq0分量。解：设定子的对称电流为iA=imcosωtiB=imcos（ωt-1200）9iC=imcos（ωt+1200）转子为同步旋转，t=0时转子的初相角为θ0，即θ=ωt+θ0于是根据dq0变换（派克变换）的定义可知：id=2/3[iAcosθ+iBcos（θ-1200）+iCcos（θ+1200）]=2/3im[cosωtcos（ωt+θ0）+cos（ωt-1200）cos（ωt+θ0-1200）+cos（ωt+1200）cos（ωt+θ0+1200）]=Imcosθ0iq=2/3[iAsinθ+iBsin（θ-1200）+iCsin（θ+1200）]=2/3im[sinωtsin（ωt+θ0）+sin（ωt-1200）sin（ωt+θ0-1200）+sin（ωt+1200）sin（ωt+θ0+1200）]=Imsinθ0i0=1/3（iA+iB+iC）=1/3Im[cosωt+cos（ωt-1200）+cos（θ+1200）]=0从上式可见，经过dq0变换以后，三相绕组内的对称正序交流将变成dq0系统内的一组直流，其中直轴电流id=Imcosθ0，交轴电流iq=Imsinθ0，零轴电流为零。从物理上看，这是不难理解的，因为经过dq0变换，定子绕组的轴线已变换为与凸极转子一起旋转的旋转轴线。在等效的dq0绕组中，通以id和iq（均为直流），其所形成的磁势将与10静止的三相绕组中通以iA、iB、iC（三相交流）时等效。可以看出，采用派克变换时，变换前、后的磁势相等，这是它的优点。但是前面的矩阵C0不是酉矩阵，因此派克变换不满足功率不变约束。为了满足功率不变约束，在dq0变换的变换矩阵中引入系数32，使21)120sin()120cos(21)120sin()120cos(21sincos320000C于是0000021)120sin()120cos(21)120sin()120cos(21sincos32iiiiiiqdCBA所以，矩阵采用C以后将满足功率不变的约束。2、凸极同步电机定子电感矩阵的对角线化和常数化对于三相凸极同步电机，其定子绕组的电感矩阵LS为CCCBCABCBBBAACABAASLLLLLLLLLL其中定子的自感和互感均为θ或2θ的正弦函数，即LAA=LS0+LS2cos2θLBB=LS0+LS2cos2(θ-1200)LCC=LS0+LS2cos2(θ+1200)LAB=LBA=-MS0-MS2cos2(θ+300)11LBC=LCB=-MS0-MS2cos2(θ-900)LCA=LAC=-MS0-MS2cos2(θ+1500)引入dq0变换，定子电感矩阵变为SLLCCLS121)120sin()120cos(21)120sin