§2两类曲线积分

153§2两类曲线积分(数学二、三不要求)【考试要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.4.会用曲线积分求一些几何量与物理量.154一、基本概念1.对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)(1)定义:01(,)dlim(,)niiiLifxysfs，其中L为xOy坐标面内的一条光滑曲线，为将L进行任意分割时各小弧段长度中的最大值，(,)ii为各小弧段上任取的一点.155类似地可定义:01(,,)dlim(,,)niiiiifxyzsfs.(2)性质(与重积分类似)①线性:11221122[(,)(,)]d(,)d(,)dLLLkfxykfxyskfxyskfxys(12,kk为常数).156②可加性:12(,)d(,)d(,)dLLLfxysfxysfxys，其中12LLL.③中值定理:若(,)fxy在L上连续，则至少存在一点(,)L，使得(,)d(,)Lfxysfs，其中s为曲线L的长度.157④对称性:若L关于x轴对称，则10,(,)(,)(,)d2(,)d,(,)(,)LLfxyfxyfxysfxysfxyfxy，，其中1L为L对应于0y的部分.若L关于y轴对称，则20,(,)(,)(,)d2(,)d,(,)(,)LLfxyfxyfxysfxysfxyfxy，，158其中2L为L对应于0x的部分.若L关于x，y具有轮换对称性(即x，y互换后，L不变)，即L关于直线yx对称，则(,)d(,)d1[(,)(,)]d2LLLfxysfyxsfxyfyxs.⑤积分与积分路径方向的无关性:若L的两个端点为A与B，则159(,)d(,)dABBAfxysfxys.注三元函数在空间曲线上对弧长的曲线积分有类似的结果.2.对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)(1)定义:01(,)d(,)dlim[(,)(,)],LniiiiiiiPxyxQxyyPxQy其中L为xOy坐标面上的有向光滑曲线弧，为160将L进行任意分割时各小弧段长度的最大值，(,)ii为各有向小弧段上任取的一点.(2)性质(与对弧长的曲线积分类似，以下仅列出两条)①12(,)d(,)d(,)d(,)d(,)d(,)dLLLPxyxQxyyPxyxQxyyPxyxQxyy161其中12LLL.②(,)d(,)d(,)d(,)d,LLPxyxQxyyPxyxQxyy其中L为L取反方向的曲线弧.注类似地可定义dddPxQyRz，并有类似的性质.二、重要结论1.对弧长的曲线积分的计算方法——化162为定积分(1)在参数方程下，若():()xtLyt，，t，则22(,)d[(),()]()()dLfxysfttttt.(2)在直角坐标系下，若:()xxLyyx，，axb，则1632(,)d[,()]1()dbLafxysfxyxyxx.若():xxyLyy，，cyd，则2(,)d[(),]1()ddLcfxysfxyyxyy.(3)在极坐标系下，若:()Lrr，，由于()cosxr，()sinyr，所以16422(,)d(cos,sin)()()dLfxysfrrrr.注1将L的参数方程代入被积表达式即可，ds为弧微分.注2定积分的下限应小于上限，即.注3对(,,)dfxyzs有类似的结果.2.对坐标的曲线积分的计算方法——化为定积分165(1)在参数方程下，若():()xtLyt，，为起点的参数，为终点的参数，则dd(),()()(),()()dLPxQyPtttQtttt(2)在直角坐标系下，若:()xxLyyx，，起点的横坐标为a，终点的横坐标为b，则166dd,(),()()dbLaPxQyPxyxQxyxyxx.特别地，若:Lyc(c为常数，axb)，则dd(,)dbLaPxQyPxcx;若:Lxl(l为常数，cyd)，则dd(,)ddLcPxQyQlyy.注1将曲线L的方程代入被积表达式即可.167注2定积分的下限是起点的参数，上限是终点的参数，积分下限不一定小于积分上限.注3对dddPxQyRz有类似的结果.注4两类曲线积分的计算过程:(1)画出积分曲线L的图形;(2)选取适当的坐标系，并写出曲线L的参数方程;(3)将L的方程代入被积表达式化为定积分并计算其值.1683.两类曲线积分之间的关系dddddddcoscosd,LLLxyPxQyPQsssPQs其中cos，cos是平面上有向曲线弧L的切向量的方向余弦.类似地有169ddd(coscoscos)d,PxQyRzPQRs其中cos，coscos，是空间有向曲线弧的切向量的方向余弦.4.格林公式设闭区域D由分段光滑的封闭曲线L围成，函数(,)Pxy与(,)Qxy在D上具有一阶连续的偏导数，则170()ddddLDQPxyPxQyxy，其中L是D的边界曲线取正向.注1使用格林公式前要注意验证条件，特别要注意L的方向.注2若L不是封闭曲线，则在使用格林公式时要添加适当的辅助线，一般是添加平行于坐标轴的直线，这样会使计算简单.注3若D是由曲线1L与2L所围成的复连通171区域，且在D上QPxy，则12ddddLLPxQyPxQy，其中1L与2L互为反方向.注4格林公式的几何意义:1dd2LAxyyx，其中A为由L所围成闭区域的面积.5.平面上的曲线积分与路径无关的条件172设函数(,)Pxy，(,)Qxy在单连通区域D上具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价:(1)ddLPxQy在D内与路径无关;(2)对任意的点(,)xyD，均有QPxy;(3)dd0LPxQy，其中L为任一简单分段光滑闭曲线;(4)在D内存在函数(,)uxy，使得d(,)dduxyPxQy，且173000000(,)(,)00(,)dd(,)d(,)d(,)d(,)dxyxyxyxyyxyxuxyPxQyPxyxQxyyQxyyPxyx,此时称(,)uxy为二元变上限的函数或称为二元函数全微分的原函数，000(,)Pxy是D内一个适当的点，利用在折线上的第二类曲线积分求得，也可以利用下面的不定积分方法求出.174设(,)(,)d()uxyPxyxCy(将y看作常数),令(,)uQxyy(将x看作常数)，解出()Cy代入上式即得(,)uxy.6.曲线积分的应用(1)dLss表示曲线弧L的弧长.(2)(,)dLMxys表示占有平面上曲线L，线密度为(,)xy的曲线形构件的质量.175(3)当(,)0fxy时，(,)dLfxys表示以L为准线，母线平行于z轴的柱面的面积.(4)曲线形构件的质心坐标(,)d(,)dLLxxysxxys，(,)d(,)dLLyxysyxys.(5)曲线形构件的转动惯量2(,)dxLIyxys，2(,)dyLIxxys，22()(,)dOLIxyxys.176(6)变力沿曲线所作的功(,)d(,)dLWPxyxQxyy，其中变力(,)(,)(,)FxyPxyiQxyj，L为质点运动的曲线.注以上关于平面上的曲线积分的结论都可以推广到空间上的曲线积分.(7)环流量向量场(,,)(,,)(,,)(,,)AxyzPxyziQxyzjRxyzk177沿有向闭曲线的环流量为dddIPxQyRz，其中为流体流动时经过的曲线.三、典型例题题型1计算对弧长的曲线积分例1计算dLxyIsxy，其中L为从(1,0)A经(0,1)C至(1,0)B的折线1(0)xyy.178解画出L的图形,利用直角坐标计算.:1,01,:1,10.ACyxxCByxx因为在L上1,xy所以dddLACCBIxysxysxys10220101111d111d2212d2.xxxxxx179例2计算4433()dLIxys，其中L为内摆线(星形线)222333(0)xyaa.解画出L的图形,利用直角坐标计算较复杂,将L用参数方程表示为33cos,sin,02,xatyatt3d3sincosdsin2d2satttatt,于是1804244303cossinsin2d2Iattatt774423306cossinsin2d4.atttta注可利用对称性简化为计算14,II其中1I为沿星形线位于第一象限部分的积分.例3计算22edxyLIs，其中L为圆周222xya，直线yx及x轴在第一象限内所181围成图形的边界曲线.解画出L的图形,在直线OA与OB上选x为参数,在AB上选t为参数,利用可加性得222222edededxyxyxyOAABOBIsss22222242000e10dede11daaxaxxatx2e1e.4aaa182例4计算222()dIxyzs，其中是曲面22292xyz与平面1xz的交线.解取x为参数,将表示为2,11122,22,2221.xxyxxzx183由方程组确定的隐函数的求导法可得d12d,1,ddyxzxyx于是222dd22d1dd.dd1422yzsxxxxx由于被积函数关于y是偶函数,关于xOz坐标面对称(即用y代替y时,被积函数与的184方程都不变),所以122122212212229222d214221d221818.1422Ixxxx185例5计算dLIys，其中L为222222()()(0)xyaxya.解曲线L的极坐标方程为22cos2,ra即cos2.ra因为积分曲线和被积函数均关于,xy及x轴,y轴对称,所以186122404d4()sin()()dLIysrrr1874024024cos2sindcos24sind241.2aaaa题型2计算对坐标的曲线积分例1计算1882222()d()dLIxyxxyy,其中L为曲线11(02)yxx，其方向从原点(0,0)O经(1,1)A到(2,0)B.解画出L的图形,:,:01;OAyxx:2,:12.AByxx利用可加性得22222222()d()d()d()dOAABIxyxxyyxyxxyy1222222201d221dxxxxxxxx18912220142d22d.3xxxx例2计算222ddd2LxxyyzzIxyzxyz，其中L是从点(1,1,1)A到点(4,4,4)B的直线段.解L是空间直线段,它的参数方程为1,1,1,03,xtytztt