§32周期信号的频谱分析傅里叶级数.

北京邮电大学电子工程学院2008.10§3.2周期信号傅里叶级数分析X第2页第2页主要内容X第3页第3页一．三角函数形式的傅里叶级数tntn11sin,cos是一个完备的正交函数集集t在一个周期内，n=0,1,...2112cossin0TTntmtnmnmTtmtnTT,0,2coscos2211nmnmTtmtnTT,0,2sinsin2211由积分可知1.三角函数集X第4页第4页1112,,TTtf基波角频率为周期为周期信号在满足狄氏条件时，可展成1sincos)(1110nnntnbtnaatf直流分量TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度TttnttntfTa00dcos)(21正弦分量的幅度TttnttntfTb00dsin)(21称为三角形式的傅里叶级数，其系数2．级数形式X第5页第5页例3-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。22110110d1TTttTATa22111110dcos2TTnttntTATa2211111dsin2TTnttntTATb3,2,1)1(π1nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为tAtAtf112sinπ2sinπ022)(111TtTtTAtf直流基波谐波11π2TttfA/221T21TOX第6页第6页其他形式00ac22nnnbacnnnabarctannnncacosnnncbsin余弦形式正弦形式00adnnnbaarctannnndasinnnndbcos110sin)(nnntnddtf22nnnbad2cos)(110nnntncctfX第7页第7页关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性(谐波性)、收敛性、惟一性。~nc~n幅度频率特性和相位频率特性的线性组合。基波角频率的整数倍）（）和各次谐波，基波（周期信号可分解为直流:11nX第8页第8页二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2,1,0e1jntn3．系数111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF2．级数形式4e)()(1j1tnnnFtf利用复变函数的正交特性nF也可写为11-jn101()ed(5)TtfttTX第9页第9页说明变换对。式是一对、惟一确定，，则如给出)5()4()(1tfnF的线性组合。区间上的指数信号周期信号可分解为tn1je,4e)()(1j1tnnnFtf11-jn1101()()ed(5)TtFnfttTX第10页第10页三．两种系数之间的关系及频谱图TtnttfTnF0j1de)(1)(1TTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1nnbaj21TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)(nnbaj21利用欧拉公式nnnFFa)(jnnnFFbnnFnFj11e)(是复数)(),(11nFnFX第11页第11页nnncbanF2121)(221相频特性nnnabarctan幅频特性和相频特性幅频特性的奇函数关于的偶函数关于取正值）的奇函数（实际关于取正值）的偶函数（实际关于)(11nnFnbnannX第12页第12页113nc0c1c3cO113nO频谱图幅度频谱相位频谱离散谱，谱线曲线或~~nnFc曲线~nX第13页第13页请画出其幅度谱和相位谱。例3-2-2化为余弦形式三角函数形式的频谱图，已知4π2coscos2sin1)(111ttttf4π2cos)π15.0cos(51)(11tttf三角函数形式的傅里叶级数的谱系数X11c0c2c12O24.211nc12π25.0π15.0O1n第13页10c00236.251cπ15.0112cπ25.02X第14页第14页化为指数形式4πj24πj2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttftttttf11112j4πj2j4πjjjee21ee21ej211ej2111)(tnnnF1j221e)((0)1Fπ15.0j1e12.1j211Fπ15.0j112.1j211eF4πj1e212F4πj1e212F整理指数形式的傅里叶级数的系数X第15页第15页谱线1)0(0FF12.1)(11FF12.1)(11FF5.0)2(12FF5.0)2(12FF00π15.01π15.01π25.02π25.02指数形式的频谱图125.0O1112.11212.15.011nF12π25.0π15.0O11π15.012π25.0nX第16页第16页三角形式与指数形式的频谱图对比11c0c2c12O24.211nc125.0O1112.11212.15.011nF12π25.0π15.0O11π15.012π25.0n三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图12π25.0π15.0O1nX第17页第17页四．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系（4）引入负频率（1）（3）（2）（4）X第18页第18页(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式=110)cos(nnntncc三角形式指数形式1110sincos)(nnntnbtnaatftnnnFtf1j1e)()(X第19页第19页0001021)(acFncnFn(2)两种频谱图的关系~~nnc，三角函数形式：单边频谱~~nnF，指数函数形式：双边频谱关系●)()(11nFnF偶函数指数形式的幅度频谱为●)()(11nn相位频谱为奇函数●X第20页第20页(3)三个性质的谱线唯一惟一性：处现在（离散性），频率只出谐波性：收敛性：)(,11tfnnFn(4)引入负频率对于双边频谱，负频率)(1n，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?的实函数的性质不变。，才能保证和数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指－)(ee11jjtftfnn注意：X第21页第21页五．函数的对称性与傅里叶级数的关系注：指交流分量X第22页第22页1．偶函数为实函数。项。项，只含直流项和余弦傅里叶级数中不含正弦)(1nF信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf)(tfOtTET0nb2010dcos)(4TnttntfTannnnabanFF21j21)(10nX第23页第23页2．奇函数)()(tftf对称的：波形相对于纵坐标是反)(tfOtTT11为虚函数。量，傅里叶级数中无余弦分)(1nF0=d)(1220TTttfTa0dcos)(2221TTnttntfTaTnttntfTb01dsin)(2nnnnbbanFFj21j21)(12010dsin)(4TttntfTX第24页第24页06,4,2nnban时3．奇谐函数201dcos)(45,3,1TnttntfTan时201dsin)(4TnttntfTbf(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfOtTT2T2)(Ttftf若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：00aX第25页第25页21Ttftf112T4．偶谐函数20111dsin)(4TnttntfTb20111dcos)(46,4,2TnttntfTan时当f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量。)(tfOt1T1T21T21T称为偶谐函数。与原波形重合，波形移动21T1,3,50nnnab当时，X第26页第26页六．周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;它表明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。~2nFnnnnnnnFcabaa21220122202121TttfTP021d)(X第27页第27页证明对于三角函数形式的傅里叶级数1110sincos)(nnntnbtnaatf平均功率ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos1d)(1201110021222021nnnbaa122012202121nnnncaca对于指数形式的傅里叶级数nnnFnF221TttfTP021d)(00aF总平均功率=各次谐波的平均功率之和TnntenFT02111d)(jX第28页第28页七．傅里叶有限级数与最小方均误差1110sincosnnntnbtnaatf)()12(tfN项来逼近取前NnnnNtnbtnaaS1110sincos误差函数NNStft)(方均误差100d)(1)(212TttNNNttTtENnnnNNbaatftE122202221)(X第29页第29页狄利克雷（Dirichlet）条件条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。返回X第30页第30页证明对于三角函数形式的傅里叶级数1110sincos)(nnntnbtnaatf平均功率ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos1d)(1201110021222021nnnbaa122012202121nnnncaca对于指数形式的傅里叶级数nnnFnF221TttfTP021d)(00Fa总平均功率=各次谐波的平均功率之和返回1j21n=-01[()e]dTntFntT